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基本対称式
[(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)]^2をx_1,x_2,x_3の基本対称式 s_1=x_1+x_2+x_3 s_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 s_3=x_1x_2x_3 で表せという問題で、 18s_1s_2s_3+s_1^2s_2^2-4s_1^3s_3-27s_3^2-4s_2^3 となるらしいのですが、 導出方法が全く検討がつきません。 18とか27とか、どっから出てくるんでしょう。
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力技で!!(記号を変えます) a+b+c=s ab+bc+ca=t abc=u {(a-b)(b-c)(c-a)}^2 ={(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}^2 =a^2b^4+b^2c^4+c^2a^4+2(ab^3c^2+a^2bc^3+a^3b^2c) +a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+2(a^2b^3c+ab^2c^3+a^3bc^2) -2(a^3b^3+a^2b^2c^2+a^4bc+ab^4c+b^3c^3+a^2b^2c^2+a^2b^2c^2+a^3c^3) ここで a^2b^4+a^4b^2=(ab)^2(a^2+b^2+c^2)-(abc)^2 ab^3c^2+ab^2c^3=(bc)^2(ab+bc+ca)-(bc)^3 であることから 与式 =(a^2+b^2+c^2){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}-3(abc)^2 +2(ab+bc+ca){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}-2{(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3} -2{(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3}-6(abc)^2-2abc(a^3+b^3+c^3) あとは a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc を使って求められますね。
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- scale--free
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展開して計算はできなさそうです。 そこで、次のことに注意します。 [(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)]^2 は x_1, x_2, x_3 の6次の斉次式である、つまり、6次以外の項は現れない。 s_1, s_2, s_3 でつくれる6次式は、 (s_1)^6, (s_1)^4*s_2, (s_1)^3*s_3, s_1*s_2*s_3, (s_2)^3, (s_3)^2 以外にありません。したがって、3変数の対称式は基本対称式s_1, s_2, s_3で表せますから、a,b,c,d,e,fを定数として、 [(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)]^2 = a*(s_1)^6 + b*(s_1)^4*s_2 + c*(s_1)^3*s_3 + d*s_1*s_2*s_3 + e*(s_2)^3 + f*(s_3)^2 と書けます。あとは、x_1, x_2, x_3 に適当な数を代入して定数a, b, c, d, e, f を決めれば良いでしょう。
お礼
あ、未定係数法ですか・・・その手がありましたね。 まともに式展開してて、うっとうしい式になってうんざりしてたものですから。
お礼
ぐわああああ・・・すごい・・・ 感動しました。 今ネットカフェなんでノートにとったりプリントアウトができませんが、家に帰って確かめます。