対称式

質問

x=1-√3,y=1+√3のとき,y/x+x^2+y^2+x/yの値を求めよ。
で、
(1)y/x+x^2+y^2+x/yが,y^2+x^2/xy +x^2+y^2になる理由。なぜ二乗が２つになっているのですか。これが、対称式でyx,xyとx^2+y^2を入れ替えたのなら、なぜx^2+y^2/x^2+y^2 +xyにならないのですか。

(2)(1+ 1/xy){(x+y)^2-2xy}になる理由を教えて下さい。
{(x+y)^2-2xy}は、基本対称式でx^2+y^2だと分かりますが、なぜy^2+x^2/xyが(1+ 1/xy)になるのか分かりません。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

まず、数式の書き方について。

y^2+x^2/xy +x^2+y^2

この式は

(y^2+x^2)/(xy)+x^2+y^2

と書くように心がけてください。紙に書き込むときはここまでする必要はないのですが、1列で打ち込む際は、どこまでが分子でどこまでが分母であるか明確に書かないと誤解を生みます。

元の式は

y^2+(x^2/x)*y+x^2+y^2

と解釈される可能性が高いです。(少なくとも先頭のy^2が分子に入るとは考えられない。"+"よりも"/"のほうが演算子の優先順位が高いのですから当然のことです)

ではここからはご質問にお答えします。

(1)
y/x+x/y
この式を通分すればよい。分母は(xy)となりますので
y/x+x/y=(y*y)/(x*y)+(x*x)/(y*x)=(y-2+x-2)/(xy)
となります。x^2+y^2は何も変化しません。

(2)
これは何か勘違いをしていますね。
(y-2+x^2)/(xy)+x^2+y^2=(x^2+y^2)/(xy)+(x^2+y^2)
となります。分数式の分子の順番を並び替えただけですが。

よく見ると(x^2+y^2)が共通になっています。つまり、(x^2+y^2)をくくりだし因数分解できます。

(x^2+y^2)/(xy)+(x^2+y^2)=(x^2+y^2)*(1/(xy))+(x^2+y^2)*1=(x^2+y^2){1/(xy)+1}
となります。このように1/(xy)+1が出てきます。

お礼

有り難う御座いました。

補足

すみません！解いてみたのですが、(x^2+y^2)*(1/(xy))+(x^2+y^2)*1=(x^2+y^2){1/(xy)+1}のやり方が分かりません。
申し訳ありませんが、もう少し詳しく、お願い致します！

回答No.2

rnakamra

> すみません！解いてみたのですが、(x^2+y^2)*(1/(xy))+(x^2+y^2)*1=(x^2+y^2){1/(xy)+1}のやり方が分かりません。
> 申し訳ありませんが、もう少し詳しく、お願い致します！

AB+AC=A(B+C)
これ、わかりますか?

A=x^2+y^2
B=1/(xy)
C=1

としたものが質問にある式です。

これがわからないようなら因数分解の初歩を確認したほうが良いでしょう。