基本対称式ってなんでしょうか？

質問

数IIの指数法則で、でてきたんですが、基本対称式というのはどういう式でどういった意味があったりするのかと全然わかりません。

分かりやすく深く、ご教示のほう宜しくお願い致します。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

n 個の変数 a[1], a[2], a[3], …, a[n] に対して、
n 次多項式 (x + a[1])(x + a[2])(x + a[3])…(x + a[n]) の
各次の係数を「基本対称式」といいます。
n-k 次項の係数が、k 次の基本対称式です。
k = 1, 2, …, n についての n 個の基本対称式があることになります。

3 個の変数 a,b,c であれば、(x+a)(x+b)(x+c) を展開した
= x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc の各係数から、
1 次基本対称式 a+b+c, 2 次基本対称式 ab+bc+ca,
3 次基本対称式 abc で一揃いです。

a[1], a[2], a[3], …, a[n] について対称な多項式は、
ある多項式に基本対称式を代入したもので表すことができる
ことが知られています。(だから「基本」対称式という)

例えば、a^3+b^3+c^3 は、a, b, c の対称式ですから、
a, b, c の基本対称式 a+b+c, ab+bc+ca, abc の多項式で
a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3 - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) - 6abc
と表すことができます。

お礼

ご回答ありがとうござました。

回答No.3

spica09

ちゃんと読んでます？
図の中に“基本対称式（α+βとαβ）で表して”って書いてあるじゃないですか！

お礼

ご回答ありがとうござました

回答No.1

info22_

基本対称式は高校一年の数学の教科書の因数分解の辺りで習っているかと思います。基礎の用語なので確認しておいて下さい。

参考URLにもあるように対称式（変数を互いに交換して入れ替えても式自体が同じ式になるような式）の内の基本的な整式のことを基本対称式と言います。

2変数関数（変数をx,yとした場合）の基本対称式は「x+y」と「xy」
3変数関数（変数をx,y,zとした場合）の基本対称式は「x+y+z」と「xy+yz+zx」と「xyz」

となります。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/huhensiki/node4.html

お礼

ご回答ありがとうございました。