直流回路網の問題が解けません

質問

下に書いた直流回路網の問題がわからなくて困っています。

回答だけは与えられていて、r/R1=0.5になるらしいのですが、
導き方がわかりません。考え方として、

（１）回路をrと{(R1-r, R2)が並列接続されたもの}が直列に接続されたもの
　　　に書き直し、
（２）全体抵抗を出して全体電流の量の式を作り
（３）全体電流から分流式で{(R1-r, R2)の並列接続された部分}のR1-r側の
　　　電流を求める式を作り
（４）（３）の最小になる値を求める

という手順だと思うのですが、どう式をいじくってもr/R1=0.5という
回答は導き出せないのです。

根本的な考え方が誤っているのでしょうか。教えてください。

---- 問題ここから --------------------------------------

以下の回路で、抵抗器（抵抗Ｒ１で一定）のブラシの位置Aを移動した
場合（抵抗ｒは可変で、０≦ｒ≦Ｒ１）、電流Iが最小になるr/R1の
値を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ１
　┌──────VVVVVVVVVV────┐
　│　　　　　　　　<----> ↑ Ａ　　　　　　　　│
　│　　　　　　　　　　r　　 │　　　　　　　　　│↓Ｉ
━━━　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　 │
　━ 　　Ｅ　　　　　　　　　 ＜　　　　　　　　　│
　│　　　　　　　　　　　　　＞　　　　　　　　　│
　│　　　　　　　　　　　　　＜　Ｒ２　　　　　　│
　│　　　　　　　　　　　　　＞　　　　　　　　　│
　│　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　│
　│　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　│
　└─────────┴──────┘

回答No.1

mmky · ベストアンサー

r, (R1-r), R2
入力抵抗Z
Z=r+[(R1-r)*R2/(R1-r+R2)]
={r(R1-r+R2)+(R1-r)*R2}/(R1-r+R2)
=(rR1-r^2+R1R2)/(R1-r+R2)
(1) 入力電流Ir=E/Z　とすると、
(2) I=Ir*{R2/(R1-r+R2)}
I=E*R2/(rR1-r^2+R1R2)
(3) Iの最大・最小条件　Ｉのｒに対する傾きがゼロの時
dI/dr=-E*R2(R1-2r)/(rR1-r^2+R1R2)^2
dI/dr=0 の条件、(R1-2r)=0
R1=2r, r=R1/2 or 0.5=r/R1

お礼

なるほど、よくわかりました。ありがとうございました。