ひずみ波交流回路について

質問

コイルωL＝６Ω、抵抗R=８Ωを並列に接続した回路に、並列回路に流入する
全電流i(t)=20+40√2 sinωt+60√2 sin3ωt(A)を流したとき、

(１)抵抗に流れる直流電流と、
(２)抵抗に流れる基本波電流実効値はどうなるのでしょうか？

ひずみ波に直流分があるので解き方が良く分かりません。
おわかりの方はぜひご教授ください。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

arishuさん、こんにちは。

電気回路で重要な概念の一つに「線形(線形回路)」というものがあります。線形の回路では入力をa倍にすると出力もa倍になり、またbという入力とcという入力を重ね合わせて入力すると、出力は「入力bのときの出力+入力cの時の出力」の重ね合わせになります。
これは「重ね合わせの定理」などと呼ばれ、実際の回路計算でも頻繁に使われます。

さてこの問題ですが、コイル・抵抗とも線形素子ですからまさにこの「重ね合わせの定理」を使うことができます。
合計電流を求める場合
i(t)=20+40√2 sinωt+60√2 sin3ωt(A)
を
i1(t)=20 [A}
i2(t)=40√2 sinωt [A]
i3(t)=60√2 sin3ωt [A]
と分解してそれぞれについて解き、最後に全部足し合わせればよいのです。

(1)直流分に対して
コイルのリアクタンスは0ですから、並列接続であればコイルに全電流の20 [A]がそのまま流れます。抵抗には直流分は流れません。

(2)基本波成分
基本波の実効値についてしか訊かれていませんから、上記の「重ねの理」に従えば、当該回路に
i2(t)=40√2 sinωt [A]
の電流を流したときに、抵抗に流れる電流を求める問題に帰着されます。これでしたら簡単に解けることと思います。

実効値の定義に立ち返りますと、与えられた電流の2乗を作って1周期T(基本波の1周期)積分し、これをTで除してから平方根を取るということになります。しかしこの問題では基本波の実効値だけを訊ねられていますから、特に積分する必要もなく、直流成分や高調波成分との干渉を気にする必要もありません。

以下はこの問題を解くのに直接は必要ありませんが、参考までに。
一般に、
A0+A1 sin ωt + A2 sin 2ωt + A3 sin 3ωt + A4 sin 4ωt +......
と表される波形があったとき(電流でも電圧でもよい)、その実効値は
√(A0^2 + A1^2 + A2^2 + A3^2 + A4^2 +.....)
の自乗和の平方根で表されます。
になります。(実効値の定義に立ち戻れば容易に求められます。補助定理としてn,mを整数としてn≠mのとき、∫sin nωt・cos mωt dt=0 (積分区間は0～1/ω)であることを使います。)

お礼

直流電流は抵抗には流れないのですね。
よくよく考えてみればそうでした。

お答えありがとうございました。