固有値？

質問

H_{ij}=(U+2t)δ_{ij}-t(δ_{i,j-1}+δ_{i,j+1})

H=~~~ -t 0 0 0 0
-t U+2t -t 0 0 0
0 -t U+2t -t 0 0
0 0 -t U+2t -t 0
0 0 0 -t U+2t -t
0 0 0 0 -t ~~~

みたいにずーっと続いているようなこの行列の固有値を求めたいのですが、わかりません。
どなたか教えてください。

回答No.2

keyguy

お手上げ：

f[0]=1
f[1]=x
と定義すれば前科式から

f[0]=1
f[1]=x
f[2]=x^2-1
f[3]=x^3-2・x
・・・・・・・・

前科式のままのほうが人類の役に立ちますが
趣味の世界に住みたいのならば
前科式を解きましょう

前科式特性方程式は
f^2=x・f-1
よって前科式特性根は
f=(x±√(x^2-4))/2
よって前科式一般解は
a,bを任意定数とし
α=(x+√(x^2-4))/2とし
β=(x-√(x^2-4))/2とし
f[n]=a・α^n+b・β^n
f[0]=1かつf[1]=xによりaとbを求めると
a=
b=
よって
f[n]=

問題：
記述の間違いを正し空白部分を埋めよ

お礼

ありがとうございました
がんばります

回答No.1

keyguy

固有多項式の列をすべて-tで割って
x=(U+2・t-λ)/(-t)
とすれば固有多項式/(-t)^nは
f[n]=
|x 1 0 0 0 0 ・・・|
|1 x 1 0 0 0 ・・・|
|0 1 x 1 0 0 ・・・|
|0 0 1 x 1 0 ・・・|
|・・・・・・・・・・・・・|
だから
f[n]=x・f[n-1]-f[n-2]
では？

補足

ごめんなさい
最初の説明不足でした。
行列は左上から右下まで無限に広がっています。
そうすると、
　　 ↓
|x 1 0 0 0 0 ・・・|
|1 x 1 0 0 0 ・・・|
|0 1 x 1 0 0 ・・・|
|0 0 1 x 1 0 ・・・|
|・・・・・・・・・・・・・|
で余因子展開しても、なんだかわけのわからない形になってしまってお手上げというところでした。