場合の数

質問

【問題】
整数2426を印刷するには2、4、2、6の4個の活字が必要である。このように考えるとき、次の問いに答えよ。

(1)1から1000(10^3)までのすべての整数を同時に印刷するには何個の活字が必要か？

(2)一般化して、1から10^nまでのすべての整数を同時に印刷するには、何個の活字が必要か？

【途中経過】
(1)に関して1～9までは、一つずつ9個必要で、10～19までに20個必要となるので、10～99までは180個必要で、100～199は・・・・・・・・・・・・。(ーー;)などと地道なことをやっていたのですが、規則性も見出すことが出来ず、このままでは(1)は解けても(2)が解けそうにありません。申し訳ありませんが、アドバイスをいただけたらと思います。よろしくお願いいたします。

回答No.9

kony0 · ベストアンサー

【途中経過】の考え方そのままでいけますよ。

k桁の（10^(k-1)以上(10^k)-1以下の）整数は(10^k)-(10^(k-1))個ありますから、
1から(10^n)-1までの整数を表すために必要な活字は
Σ(k=1～n)k*((10^k)-(10^(k-1))
=Σ(k=1～n)k*10^k - Σ(k=1～n)k*10^(k-1)
=Σ(k=1～n)k*10^k - Σ(k'=0～n-1)(k'+1)*10^(k')
=Σ(k=1～n)k*10^k - Σ(k=0～n-1)k*10^k - Σ(k=0～n-1)10^k
=n*10^n - (10^n-1)/9
これに10^n（これはn+1桁）の分を加えて、
求める個数は、n*10^n - (10^n-1)/9 + (n+1)

お礼

なるほど。よく分かりました。
高校を卒業してはや、10年。脳みそが
コチコチに硬くなっております。
たまには数学して、頭の体操をしないといけませんね。(^_^メ)
大変参考になりました。ありがとうございます。

他にコメントを寄せていただいた皆さんもありがとうございました。

回答No.8

hiru-an-don

うげ！「すべての整数」を「同時に」ですか。

1の桁は1000個必要

10の桁は1から9までを除くすべての数に必要なので
1000-9で991個必要

100の桁は1から99までを除くすべての数に必要なので
1000-99で901個必要

1000の桁は1から999までを除くすべての数に必要なので
1000-999で1個必要

これらを全部足すと
1+901+991+1000
で、
2893

という考え方だと一般式が作りにくいですね。
ってゆ～か、これで合ってるのか？？

回答No.7

moccha

hiru-an-donさんの回答では、同時に印刷することはできません。
問題の同時とは、活字を並べた1組の版で1回印刷して、すべての数字を印刷する。という意味だと思います。
位(くらい)ごとに調べていくと、1の位では、1から10までの数字を印刷する為に、10個必要です。20までで20個必要です。100まででは100個必要です。
2の位では、1から10までで1個、20までで2個100までで10個必要です。
100の位では、1から100まで印刷する為に1個必要です。
と、考えていくと数えられると思います。

haruka1234567890　さん　1000を忘れていませんか？

回答No.6

hpsk

No.2です。

「全ての」整数を同時に印刷するということですから、1,2,3,...10^nの全てを同時に印刷しなければならないと思うのですが。。。

No.3～No.5の方の解答は、
1から10^nまでの「任意の」整数を同時に印刷するには...
の答だと思うのですがいかがでしょう。

回答No.5

noname#86752

すいません#3で答えたものです。
私のは間違ってます。ちょっと考えが足りませんでした。
#4さんの回答があっていると思います。
1がいくつ必要？2がいくつ必要？という考え方をすればよかったみたいです。

回答No.4

hiru-an-don

1から999までを印刷する場合を考えると、

それぞれの桁について、0から9までの活字が１つづつ必要になる

と言えます。

1000を印刷する場合、下３桁は000となり、1の活字は使っていません。
上１桁はこの使っていない1の活字を使えばよいので、

10+10+10で30個の活字があればよいことになります。

これを一般化すると

◎1から10^nまでを印刷するには10n個の活字が必要になる

これであってるかな？

回答No.3

noname#86752

ちょ、ちょっと待ってください。これは各桁毎の活字が必要と言うことなんだから、1の位で10個、10の位で10個・・・となって、10+10+10+1の31個じゃないんですか。
ということは一般化すると10n+1だと思うんですけど。

なんか二つも同じような考えの回答がついていて、私だけおかしな考えをしているように感じるのですが、皆さん難しく考えすぎじゃないですか？

回答No.2

hpsk

難しく考えることはないですよ、
例えば３桁の数字だと、
・３桁の数字の作り方は、最上位は1～9の9通り、残りの２桁は0～9の10通りから選ぶ選び方なので、
9×10×10＝900通り
・各数字に3つの活字が必要なので,
3×900 = 2700個
の活字が必要。

これを、一般のkに当てはめればいいんです。

回答No.1

haruka1234567890

ヒントを

1から10^3　の場合

1*9 + 2*90 + 3*900
= 9*321

とりあえずここまで