高1 数I

質問

次の実数ａ　について、ａ　の整数部分を[ａ]と書くとする。次の問に答えなさい。
(1)[1／√7-4]　を求めよ・・・√7－4全体が分母です。（書き方が上手くいかず申し訳ありません。）
(2)[√2＋√11]を求めよ。
(3)[√2＋√Ｋ＝5]を満たす自然数Ｋの個数を求めよ。
です。
よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(1)
1 / (√7 - 4)
= (√7 + 4) / (7 - 16)
= (-√7 - 4) / 9

ここで、2 = √4 < √7 < √9 = 3であるから、
2 < √7 < 3, -3 < -√7 < -2
よって、-1 < -7 / 9 < (-√7 - 4) / 9 < -6 / 9 < 0より、
-1 < 1 / (√7 - 4) < 0
∴[1 / (√7 - 4)] = 0

(2)
1.4 = √1.96 < √2 < √2.25 = 1.5
1.4 < √2 < 1.5
3.3 = √10.89 < √11 < √11.56 = 3.4
3.3 < √11 < 3.4
4.7 < √2 + √11 < 4.9
∴[√2 + √11] = 4

(3)
問題文は正しいですか？
[√2 + √K] = 5
とかではありませんか？

お礼

ありがとうございました。助かりました。

補足

すみません。そうです。［］位置間違いました。すみません。
ありがとうございます。

回答No.5

alice_44

あ、しまった。
A No.3 は、2+11 の計算を間違えてる！
4=√16＜√21＜√2+√11＜√23＜√25=5
より [√2+√11]=4 に訂正。

回答No.4

alice_44

(3) も、同様にやる。

[√2+√K]=5 は、5＜√2+√K＜6 の意味だから、
(5-√2)2乗＜K＜(6-√2)2乗 を満たす K を求めればいい。

(5-√2)2乗=25+2-10√2=27-√200。
196＜200＜225 より 14＜√200＜15 だから、
27-15＜(5-√2)2乗＜27-14。

(6-√2)2=36+2-12√2=38-√288。
256＜288＜289 より 16＜√288＜17 だから、
38-17＜(6-√2)2乗＜38-16。

以上より、K=13,14,15,16,17,18,19,20,21 の 9 個。

比較的小さい平方数を最初に書き出してしまうのが、
この解法のポイントかな。

回答No.3

alice_44

(1) は、解決済み。

(2) を、整数計算でやってみよう。
√2+√11 を二乗すると、2+11+2√22。
16＜22＜25 より 4＜√22＜5 だから、
23+2・4＜(√2+√11)2乗＜23+2・5。
よって、√31＜√2+√11＜√33。
25＜31＜33＜36 より 5＜√31＜√33＜6 だから、
5＜√2+√11＜6 となる。
すなわち、[√2+√11]=5。

回答No.2

asuncion

(3)
仮に、[√2 + √K] = 5が正しいとします。このとき、
5 ≦ √2 + √K < 6
5 - √2 ≦ √K < 6 - √2
(2)より1.4 < √2 < 1.5, -1.5 < -√2 < -1.4がわかっているので、
3.5 ≦ √K < 4.6
12.25 ≦ K < 21.16
これを満たす自然数Kは13～21の9個。