以前、「大学の力学で次の様なレポート課題が出ました。 ”万有引力のもと

質問

以前、「大学の力学で次の様なレポート課題が出ました。 ”万有引力のもとで２つの質点が周期τで互いに円運動をしている。ある瞬間に２つの質点を止め、次に放すと２つの質点は時間τ/４√２後に衝突することを示せ”という問題です。お手上げ状態です。出来るだけ分かり易く教えてください。お願いします。」という質問をしました。
その際に次の様な回答を頂いたのですが、分かった気になってしまい質問を閉め切ってしまいました。前半の部分は理解できたのですがIの積分が分かりません。計算の課程をもう少し細かく教えていただけないでしょうか。

「途中の煩雑な計算過程は省略し，概略のみ示します。

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まずは円運動。

２質点間の距離をr0，質量をM，mとおきます。
換算質量μ= Mm/(M+m)として，円運動の方程式は，

μ・r0(2π/τ)^2 = GMm/r0^2
（質点個別に立ててもこの式に帰着します）
∴　τ = 2πr0^(3/2)/√{G(M+m)}
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次に後半の接近。

２質点間の距離をr(t)，r(0)=r0として，運動時間を求めます。

エネルギー保存は

1/2 μr'^2 - GMm/r = -GMm/r0　ただし，r'=dr/dt
（質点個別の運動エネルギーを計算してもこの式に帰着します）

整理すると，

dr/dt = -√{ 2G(M+m)(1/r - 1/r0) }

求める時間Tは，

T = 1/√{2G(M+m)}×I，I = ∫[0～r0]dr/√(1/r - 1/r0)

積分Iを計算します。u=√(1/r - 1/r0)　とおくと，
I = 2∫[0～∞]du/(u^2 + 1/r0)^2
さらに，u = tanθ/√r0　とおくと，
I = 2r0^(3/2)∫[0～π/2]cos^2θdθ = πr0^(3/2)/2

したがって，

T = πr0^(3/2)/[ 2√{2G(M+m)} ] = τ/(4√2)

を得ます」

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

実は，私も積分の手順はこれが最善かどうかは自信がありません。
が，紹介した方法の手順をもう少し解説したいと思います。

I = ∫[0～r0]dr/√(1/r - 1/r0)
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u=√(1/r - 1/r0)　とおくと，
u^2 = 1/r - 1/r0　　∴ r = 1/(u^2+1/r0)
∴2udu = -dr/r^2
∴dr = -2ur^2du = -2udu/(u^2+1/r0)^2

r = [0,r0]　→　u = [∞,0]

I = 2∫[0～∞]du/(u^2 + 1/r0)^2
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さらに，u = tanθ/√r0　とおくと，
u^2 + 1/r0 = 1/r0 (1 + tan^2θ) = 1/r0 sec^2θ
du = sec^2θdθ/√r0

u = [0,∞]　→　θ = [0,π/2]

I = 2r0^(3/2)∫[0～π/2]cos^2θdθ
= r0^(3/2) ∫[0～π/2](1+cos2θ)dθ
= r0^(3/2) [θ + 1/2 sin2θ]_0^(π/2)
= r0^(3/2)×π/2

となります。

補足

何度も申し訳ありません。
ほとんど納得することができたのですが、最後のT = πr0^(3/2)/[ 2√{2G(M+m)} ] = τ/(4√2)の部分が何となく感じは分かるのですが、どうしても最終的な答えにたどり着きません。どの様にすれば良いのでしょうか。