運動エネルギーについて

質問

こんにちわ
Ｇｉａｎｔｓともうします。

運動エネルギー（１／２）ｍｖ２を解説するのに

∫m(ａ)・dr＝∫Ｆ・dr　　　　　---１
∫m(dv/dt)・dr＝∫Ｆ・dr　　　---２
∫m(dr/dt)dv＝∫Ｆ・dr　　　　---３
∫mvdv＝∫Ｆ・dr　　　　　　　---４

の順に解説されているのですが２式から３式に移る所が
ぼやっとしています。

なぜ（ｄｖ／ｄｔ）・ｄｒ　が　（ｄｒ／ｄｔ）ｄｖ　となり
普通の分子、分母のように考えられ、また内積の「・」も消してもいいのですか？
アドバイスよろしくお願いします。

回答No.2

orang · ベストアンサー

２から３は自明ではありませんね。というより、ホントに正しい変形なのか、怪しいのではないかと思います。

ふつう、２・３・４という手順を踏むより、１から、
∫m(dv/dt)・(dr/dt)dt＝右辺　（合成関数の微分）
∫m(dv/dt)・v dt＝右辺　（dr/dt=v）
∫m{(1/2) d(v^2)/dt}dt＝右辺　（d(v^2)/dt=2 v・dv/dt）
∫m(1/2)d(v^2)＝右辺
∴(1/2)mv^2=右辺

という式変形を行うほうが普通だと思います。これなら間違いないでしょう。２から３の説明にはなっていないのですが・・・

２から３で内積のドットが消えたことについて説明すると、dr/dt=vなので、３式の左辺は

∫mv・v dt

と同値です。v・v=v^2ですから、内積のドットは必要ないですね。ということで、３ではドットが省略されているわけです。

お礼

どうもありがとうございました。

補足

アドバイスありがとう。

＞ふつう、２・３・４という手順を踏むより、１から、
＞∫m(dv/dt)・(dr/dt)dt＝右辺　（合成関数の微分）

ここの経過が合成関数の微分でこうなっていると
おっしゃてますが合成関数をどう使っているのか
わからないです。

また回答４の人の意見ですが、最初の質問と同じで
（ｄｖ/ｄｔ)ｄｒ＝（ｄｖ/ｄｔ）ｄｒ（ｄｔ／ｄｔ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 「１」

微分記号は意味を考えなくて自動的に分数の分子、分母のように扱ってもいいように思うのですが結果は同じでも、経過の意味がわかってないので不安なのです。

回答No.7

orang

no.2について

合成関数の微分というのは、

d(f(x))=(df(x)/dx)・dx

が成り立つことを言います。微積分学で、高校で扱っています。この式で、f->r,x->tとすればいいです。

df(g(x))/dx=df(g)/dg・dg(x)/dx

この形で扱っていますが、両辺にdxをかければ上の式と同値ですね。（dxをかけていい理由は、以下に述べる極限操作についての部分を読めば一応納得できるのではないでしょうか）

dr・1=dr・dt/dt=dr/dt・dt
としているわけではありませんよ。

no.3について
「スカラーだから、積の順序を変えてもオッケー」
なるほど、これは正しそうです。
ちょっと解説すれば、

dv/dt・dr

というのは

Δｖ/Δｔ・Δｒ

の極限ですよね。極限をとる前なら内積に対してΔｔをどっち側につけてもかまわない、これは当たり前ですよね。（スカラーなのですから）no.5で親切に説明されています。

よって、上の式は

Δｖ・Δｒ/Δｔ

と書き換えられます。こう変形した後に極限操作をすれば、納得できるのではないでしょうか。

補足

おはようございます。
Ｇｉａｎｔｓａｍｅです。
皆さんのアドバイスを参考に自分なりに理解しようとしましたが時間が経ってしまいました。

　Ｆ(ｘ)＝∫ｆ(x)ｄｘ　　－－－１
　ｘ＝ｇ(ｔ)
となるＦ(ｘ)、ｆ(ｘ)、がある時、

合成関数の微分とは
　Ｆ(ｘ)＝∫ｆ(x)(ｄｘ／ｄｔ)・ｄｔ　－－－２

　１式と２式は等しいので
ｄｘ＝(ｄｘ／ｄｔ）・ｄｔであると言う事から

∫m(dv/dt)・dr=F・dr　－－－３

距離ｒは、時間ｔの関数なのでｒ＝ｇ(ｔ)
３式においての左辺の
m(dv/dt)は今のところ考えず、drは２式を参考に
ｄｒ＝（ｄｒ／ｄｔ）・ｄｔ　より　３式は

∫m(dv/dt)・(dr／ｄｔ）・ｄｔ=F・dr
∫m(dv/dt)・ｖ・ｄｔ=F・dr

となることは理解できます。

ここで、３式で考えていなかったm(dv/dt)は、２式を参考に
m(dv/dt)はｒの関数と考えられ
m(dv/dt)＝ｆ(r)となります。
加速度（ｄｖ／ｄｔ）は、距離ｒの関数とはどういう意味でしょうか？

回答No.6

Teleskope

１．
>>　なぜ内積 (dV/dt)・dr が普通の掛け算 (dr/dt)dv になる <<

　それはたぶん、速度 V が直線運動の話ではありませんか？

　　　　　　　 m
　　　───●→V 速度ベクトル ───
　　　　　　 ／
　　　　　／ r位置ベクトル
　　　　O
　　　　位置を測る原点

　直線運動だからベクトルVの変化dVも同じ直線上。
ゆえに内積は
　　　V・dV = VdVcosθ = VdVcos0 = VdV

　直線運動でない場合はθがゼロでないので内積記号 ・ は取れません。

２．
>>　普通の分子分母のようにしちゃってもいいものなのか？ <<

　はい、普通は入れ替え自由自在です。そう覚えてしまいましょう。（普通の力学や電気の計算では入れ替え自由、どんどんやってください。そうやってだめな場合にぶつかったとき「あ、この場合はこういう(物理的)理由で駄目なのか」と、そこで納得すればいいです。ひょっとして学校で「微係数は記号だから分割できない」とか教わりました？）

　どこかで読んだり聞いたりした事があると思いますが、物理の微積分と数学の微積分は、やることはそっくり同じなのだけど、定義が全然ちがうものなんです。
簡単に言ってしまえば物理の dV や dt は微小だけど有限です。普通の数として どんどん扱ってください。積分などは数学公式集をどんどん活用しましょう。

　次元の計算でも、微分は普通の割り算と同じ。積分は普通の掛け算と同じです。機械でも電気でも式は必ず物理的に意味のある次元になってるはずですから、訳分かにおちいった時にチェックすれば脱出できます。
　あと、関係ない話ですがここで質問が多そうなのは座標変換での微分ですね。xyz系からrθ系へとか。

回答No.5

keyguy

ｄｖ、ｄｒ　どちらに／ｄｔとしてもいいという
意味がわかりにくいです。:

実数体上の内積の性質として
a,bをベクトルαを実数とすると
(α・a,b)=(a,α・b)=α・(a,b)
勿論1/αをαに置き換えて
(a/α,b)=(a,b/α)=(a,b)/α
が言える事は言うまでも無い
これでも分からなければ線形代数を勉強しましょう
（大学1年前期で終わるまでの分で十分）

回答No.4

seyber

こんにちは。＾＾
NO,2の方の解説なら私にでもｍｖを積分すると（１／２）ｍｖ２に計算出来るのですが・・・・＾＾；

私が見ると、
∫m(dv/dt)・dr（２式）＝∫Ｆ・dr＝∫m(dr/dt)dv（３式）

２式は３式であり、等しいと見えます。
間違ってたらごめんね。

回答No.3

keyguy

ニュートンから
m・dv/dt=F
両辺にdrを内積すると
m・(dv/dt,dr)=(F,dr)
/dtはスカラーだから
m・(dv,dr/dt)=(F,dr)
すなわち
m・(dv,v)=(F,dr)
両辺を積分すれば4になる
混乱を避けるために内積を(,)とした

お礼

どうもありがとうございました。

補足

アドバイスありがとうございます。

>m・(dv/dt,dr)=(F,dr)
>/dtはスカラーだから
>m・(dv,dr/dt)=(F,dr)

ｄｔがスカラーなら
ｄｖ、ｄｒ　どちらに／ｄｔとしてもいいという
意味がわかりにくいです。
すみませんがその辺のところよろしくお願いします。

回答No.1

Sarinja

それは、ライプニッツが微分・積分を普通の数式のように扱うために作った記号だからです。
ちなみに、間にある「・」は、ここでは内積ではなく「×」（かける）の役割を果たしています。