ピタゴラス数にからんだ整数問題

質問

以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。（京大志望です）

自然数 a，b，c について，等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち，かつ a，b は互いに素とする。このとき，次のことを証明せよ。
(1) a が奇数ならば，b は偶数であり，したがって c は奇数である。
(2) a が奇数のとき，a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。

(1)
　a,bをともに奇数とすると
　i,jを任意の自然数として
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける。
　すると、
　　a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2
　　　　　 =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
　よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。
　よって
　　c=2k
とおく。
　すると、
　　0=a^2+b^2-c^2
　　 =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)
となって不合理。
　よってa,bがともに奇数とはなり得ない。
　よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。

(2)
　m,n（m＜n）を自然数として
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2
とおく。
　（a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数）
　以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。
　上の式をn^2,m^2について解くと
　　n^2=(c+a)/2
　　m^2=(c-a)/2
となる。
　よって
　　n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4
　よって
　　b=2mn
となる。
　これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。
　よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。（ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する）
　またこれより題意をみたすとき
　　a+c=2n^2
　よって題意は示された。

(2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからＯＫと言うような論法になってしまっている気がするのですが…
どうでしょうか？

回答No.14

eatern27 · ベストアンサー

私も、因数は１を含まない、というイメージがあったのですが、（素因数分解といったら、１を書きませんし）その辺りに自信がなかったので、ネット上で検索してみたんです。そうしたら、
http://ja.wikipedia.org/wiki/約数
が見つかって、これを読んだ感じでは、因数は１も含む、という解釈しかできなかった（どう見ても、約数＝因数という書き方ですよね？）ので、そうだったのか～、と思ってあのように書きました。一般に、因数といったら、１を含まないのなら、あのままでかまいません。

＞p,qが３以上の素数では割り切れない
基本は背理法です。

pが３以上の素数rで割り切れたとします。
pqは平方数で、pは１以外の平方数では割り切れないので、qがrで割り切れる事になります。
すると、c-a=pm^2,c+a=qn^2はともにrの倍数となる事から、2a=(c+a)-(c-a)はrの倍数になります。
rは3以上の素数であったから、aがrの倍数となります。(←"３以上の素数"のように２を除外したのは、この部分で2aがrの倍数としか言えないためです。）
さらに、※b^2=(c-a)(c+a)はr^2の倍数であるから、bはrの倍数。
よって、rはa,bの公約数。rは３以上の素数であったから、a,bが互いに素であることに矛盾。
よって、pは３以上の素数で割り切れない。qについても同様。

という感じです。
なお、※の部分は、a,cが互いに素である事を既知とするならば、2c=(c+a)+(c-a)がrの倍数よりcがrの倍数、というのに置き換えても問題ありません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/約数

お礼

１も因数と言えるんですね。はじめて知りました。

長々と回答していただいて本当にありがとうございました。

回答No.4

Quattro99

すみません。私がわかっていないだけかも知れませんが。

> 0=a^2+b^2-c^2
> =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)

ここの意味がわかりません。

また、(2)は

> 以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。

とありますが、題意を満たす任意のa,cがそのように表せることを示しているのではなく、そのように表すことの出来るa,cでは矛盾が生じないということを示しているだけのように思うのですが。

お礼

回答ありがとうございました。
やっぱ合同式は使わない方が無難でしょうか？
京大は何でもありだと聞いているのですが…

回答No.3

noname#8027

（１）では、

>　　　　　 =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
計算ミス。
　　　　　 =4(i^2+j^2)-4(i+j)+2=c^2

>よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。

前の式から導き出せる論述ではないので、
「ここで、cが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。」
の方がよいでしょう。

>≡2(mod.4)
自信はありませんが、数学的記述でないように思います。
この部分は無くてもよいと思います。
「右辺が４の倍数＋２となって不合理。」
という記述でどうでしょう。

>したがって c は奇数である。
自明ではあるが、説明が全くなされていない。

（２）では、
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2　ならば矛盾はない

という事は示されていると思いますが、

a^2+b^2=c^2 を満たす全てのa,cについて、
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2
と表せるとは証明されていないように思います。

[以下、解答の形式をなしていませんが・・・］
a^2+b^2=c^2
より、(c+a)(c-a)=b^2=4n^2
ｃ＋ａは偶数。ｃ－ａも偶数。
ｎの因数の一つをｍとすると、ｃ＋ａ＝２ｍｘ^2　ｃ－ａ＝２ｍｙ^2と仮定すると、
ｃ、ａを求めると、互いに素に反する。よって、ｃ＋ａ＝２ｄ＾２となるｄが存在する。

お礼

計算ミスがあったとは…
気をつけます。

＞前の式から導き出せる論述ではないので、
＞「ここで、cが奇数であるときc^2も奇数となるからc＞は偶数。」
＞の方がよいでしょう。

確かにそうですね。

(2)は背理法で示すのですか。気付きませんでした。

ありがとうございました。

回答No.2

Rossana

(1)について
＞i,jを任意の自然数として
＞　　a=2i-1
＞　　b=2j-1
＞とおける。
i,jを互いに素な任意の自然数として
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける。

お礼

早速の回答ありがとうございました。

回答No.1

Rossana

(1)について
＞a,bをともに奇数とすると
「aが奇数であるときに，bも奇数であると仮定すると」ってした方が，bがメインという感じがしていいかも．

お礼

早速の回答ありがとうございました。