複素関数のtan(z)には原始関数が存在しますか？

質問

手持ちの参考書にはsin(z)とcos(z)の原始関数につていの解説はあるのですが、tan(z)はないのです。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

f(z)=tan(z) は、D : |z|<pi/2 なる領域で正則ですから、D内の２点a, bを結ぶ曲線に沿ってのf(z)の積分は、その下端、上端だけで決まり、積分路には関係しません。
F(z) = ∫[a~z] tan(ζ)dζ
を考えると、この積分は点ｚだけに関係してzの関数(z)を定めます。
すなわち、F'(z)=f(z) ゆえ、F(z)はf(z)の原始関数です。
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F(z) = -log(cos(z)).