数学A 重心と内心が一致する三角形

質問

画像の問題で、ここまで書けたのですが
ここからどうすればいいのかわかりません。

AMが△ABMと△ACMで一致しているので、
一辺とその両端の角がそれぞれ等しいと証明して
正三角形であることを導き出そうとしたのですが、
肝心の角AMBと角AMCの大きさがわからないので、できそうにないです。

ここからどのように証明したらよいですか？
どなたかご教授ください。

回答No.4

maskoto · ベストアンサー

AB:AC＝BМ:CМ…①について
比の記号「:」をドイツなどでは
割り算の記号として用いています
つまり
日本で6÷2＝3は
ドイツでは6:2＝3
と表記するそうです
つまり、「:」は「÷」と同じ事なんだな
そんなイメージを持っておくと良さそうです

ということは①は
AB÷AC＝BМ÷CМ↔AB/AC＝BМ/CМ…(イ)
と同じ事です

②に関連して、今回Мは中点なので、実際のBМとCМの長さをLとおくと
(イ)は
AB/AC＝BМ/CМ＝L/L＝1/1
と言う事になります
すなわち
AB/AC＝1/1↔AB＝AC
です

先ほどの解説は今示した内容を
分数式の記号「/」や割り算の÷を経由せず
「:」のままで話を進めただけの事になります

お礼

ありがとうございます！！！

回答No.3

chie65536（@chie65535）

https://examist.jp/mathematics/plane-figure/yonsin-seisankakukei/
の（１）を参照。

お礼

ありがとうございます！
他の証明をするときに参考にしてみます！

回答No.2

maskoto

∠BAМ＝∠CAМまで良いですよ
→AМは∠Aの二等分線
これを用いて、三角形の内角の二等分線の性質により
AB:AC＝BМ:CМ…①

また、Oが重心だから
BМ＝CМ…②

①②により
AB:AC＝BМ:CМ＝1:1
→AB＝AC

この要領でBの内角の二等分線から
BA＝BCも示し
三辺が等しくなることを示します

お礼

ご回答ありがとうございます！
質問なのですが、、

>>①②により
　AB:AC＝BМ:CМ＝1:1
　→AB＝AC

どうして①と②から、AB:AC＝BМ:CМ＝1:1ということが
わかるのですか？

回答No.1

f272

図でAMは角Aの二等分線だからAB:AC=BM:CM
またAMは中線でもあるからBM=CM
したがってAB=AC
同様にしてBA=BC、CA=CBも示せる。

お礼

ありがとうございます！！