２次関数の応用

質問

x.y.z が x+2y+3z=6 をみたすとき、x^2+4y^2+9z^2 の最小値とそのときのx.y.zの値を求めよ

という問題で、解き方が全然分かりません。

どのように解いたらいいのか、教えてください。

回答No.5

springside · ベストアンサー

空間座標で考えるというのは非常に有効だと思うのですが、そんなに難しく考えなくても、以下のように平凡に行けるのでは？

x+2y+3z=6より、x=-2y-3z+6となり、これをx^2+4y^2+9z^2に代入すると、

(-2y-3z+6)^2+4y^2+9z^2
=8y^2+12(z-2)y+18z^2-36z+36　←yの2次式に変形
=8{y^2+(3/2)(z-2)y}+18z^2-36z+36　←yで平方完成したい
=8{ (y+(3/4)(z-2))^2-(9/16)(z-2)^2 }+18z^2-36z+36
=8{y+(3/4)(z-2)}^2 + (27/2)z^2-18z+18　←yで平方完成した
=8{y+(3/4)(z-2)}^2 + (27/2)(z-2/3)^2 +12　←zで平方完成した

となるので、これが最小になるのは、
y+(3/4)(z-2)=0
z-2/3=0
のとき（最小値は12）であるから、
y=1
z=2/3
のときで、そのとき、x=2である。

よって、最小値12 (x=2, y=1, z=2/3のとき）

お礼

この解き方で自分でやってみたら解けました。
分かりやすくご説明いただき、ありがとうございました。

回答No.4

noname#24477

x=X,2y=Y,3z=Z　とおくと
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝６（これは空間における平面）のとき
Ｘ＾２＋Ｙ＾２＋Ｚ＾２＝ｒ＾２（これは球）
のｒ＾２の最小値を求めよ、となって
接するときが最小。
空間図形が分かっていればこれでいける。

別解　コーシーシュワルツの不等式
（a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2
においてa=b=c=1,x=X,y=2Y,z=3Zと置く。
等号は・・・まあやってみてください。
でもこれ削除されそうですね。

お礼

参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#17965

３次元座標系の平面の式は習いましたか？習ったものとして説明します。
式を見ると、x,y,zの式ですが、、、よ～く見ると、x,2y,3zの式とも見れますよね。まとめてしまいましょう。

u=x
v=2y
w=3z
とおくと、問題は
「u,v,wがu+v+w=6（式１）を満たす時、u^2+v^2+w^2（式２）の最小値とその時のu,v,wを求めよ」
となります。
式１はu-v-w座標系の平面の式です。
式２は原点と点（u,v,w)との距離の２乗です。
またまた問題を言い換えると
「平面（式１）上の点で、原点との距離が最も近い点を探し、距離の２乗を求めよ」と同じですよね。
平面と原点との距離の公式を使えば解けます。

お礼

３次元座標系の平面の式は、まだ習っていなかったので良く分かりませんが、まとめて計算するという方法もあるのですね。
このご回答を参考にさせていただき、少し勉強してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

otasuke009

No.1の者です。考えていたら早速「穴」がありました。

x=0,y=3,z=0のとき x^2+4y^2+9z^2 = 36
x=0,y=0,z=2のとき x^2+4y^2+9z^2 = 36

ですねー。ははは。

いちおう
(x,y,z)=(0,0,2),(0,3,0),(6,0,0) のとき
x^2+4y^2+9z^2 = 36 が最小値と訂正しておきます。

でも、相変わらず論理の穴がありそうですね。決して参考にしないでください。

お礼

いろいろ考えていただき、ありがとうございました。

回答No.1

otasuke009

正の数も負の数も２乗すると正になります。

ならx^2,y^2,z^2のうちz^2が最小＝０のとき
x^2+4y^2+9z~2は最小になりそうな気がします。（あくまで気がするだけですがね）

同様にy~2も最小＝０のときx^2+4y^2+9z~2は最小でしょうね。

とすれば

x=6,y=0,z=0 のとき x^2+y^2+z^2=36 で最小という気がしますがどうでしょう。

論理的には穴がありそうですね。なければ駄問、あって良問でしょう。（決して参考にしないでー＾＾）

お礼

いろいろ考えていただき、ありがとうございました。