高校数学の整数問題についてです

質問

下記二問の解き方と答えをどなたか教えていただけませんでしょうか。。

(1)x4+1を割ると商がx2-x 、余りがx+1となる整数B

(2)x=√2-1のとき(ア)x2+2x-1 (イ)x4-4x2+6x+2

宜しくお願いしますm(_ _)m

回答No.5

Tacosan

例えば, だ.

「7 を割ると商が 3, 余りが 1 となる整数を求めろ」って問題は解けるか?

あるいは, 「x=3 のとき x^2+x+1 を求めろ」はできるか?

補足

コメント有難うございます。

一応そこまでは理解できていると思います。
7=B+3+1 =B=2

二つめは、x^2+x+1にx=3を代入して
9+3+1=13

初歩的ですみません。
ここまでは理解できますが、質問させて頂いたような
多項式？になるとやり方がさっぱりわからなくなってしまいます。

※二乗など入力の仕方を知らずそのまま数字で入力していました。
見ずらかったですよね。すみませんでした。

回答No.4

FEX2053

回答については他の方の回答を参考に。で、解き方。

とか何とか云いながら、この手の問題は「解き方に慣れておく」しかないです。
やったことが無いと手がかりが見つけられず、解けないってのはごく普通に
あることですよ。

逆に言えば、どれだけこの手の問題を解いたかってことで、言えば「勉強量」
を見てる問題なんです。

もっとも、この手の問題は「とにかく問題文から方程式を引っ張り出す」ことを
やらないといけません。「商、あまり」なんて言葉が出てきたらD=A×B＋Cに
無理矢理でも持っていくことが第一。式さえできれば、後は力技で変形して
いけば大概解けるんです。同じように「こういう言葉が出てくれば、こういう式
で何とかする」ってパターンはいくつかあります。

・・・２問目も、そういう意味では「とっかかりが見れば後は何とか」問題ですね。

ただ、この問題、一度見ましたよね。だったら、次に同じような問題が出れば
なんとかとっかかりは見える筈。数学ってのはそういう「パターンを見つけて
一般化する」学問ですから・・・。

回答No.3

info222_

(1)
問題が間違っていませんか？
正しくは
「x^4+1を割ると商がx^2-x 、余りがx+1となる整式を求めよ。」
では？
そうであれば
x^4+1=(x^2-x)(x^2+ax+b)+x+1
とおける。これはxについて恒等式である。
両辺から(x+1)を引くと
x^4-x=(x^2-x)(x^2+ax+b)
これも恒等式であり、両辺をxで割った
も恒等式である
x^3-1=(x-1)(x^2+ax+b)
両辺を(x-1)で割った
x^2+x+1=x^2+ax+b
も恒等式であるから、各次の係数は等しい。
∴a=b=1
(答) 求める整式=x^2+x+1

(2)
この問題も何をすればよいかかかれていない不完全な問題。
「x=(√2)-1のとき(ア)x^2+2x-1、 (イ)x^4-4x^2+6x+2 について,
各式の値を求めよ。」であれば
x+1=√2
2乗して
x^2+2x+1=2
(ア)
x^2+2x-1=(x^2+2x+1)-2=2-2=0 ...(答)

(イ)
x^4-4x^2+6x+2=(x^2-2)^2+6x-2
={((√2)-1)^2-2}^2+6((√2)-1)-2
={(1-2√2)^2}-8+6√2
=(9-4√2)-8+6√2
=1+2√2 ...(答)

補足

詳しく解答頂き有難う御座います。
(1)についてはご指摘の通り整数Ｂではなく整式Ｂ、
(2)についてはそれぞれの値を求めよ、でした。
不完全な質問をしてしまってすみません。

頂いた解答を見て、まず私はこの二問がどのような種類の問題でなぜこの解き方になるのか
という所から理解できていない事が分かりました。

解答頂いた問題二問ともある学校の入試の過去問で、数学Ｉ・Ａから出題されているのですが、
どちらもこれと似たような問題が自分のもっている参考書等にに乗っておらず、初見な為ちんぷんかんぷんな状態です。

(1)についてはx^4+1=(x^2-x)(x^2+ax+b)+x+1と置いた後、（x+1)を引く所から、
(2)についてもなぜｘ-1＝√2にするのかというところから理解できませんでした。。

せっかく詳しく解答頂いたのにすみません。

もしよろしければどのような単元を勉強すれば良いのか教えて頂けると助かります。

回答No.2

spring135

(1)x4+1を割ると商がx2-x 、余りがx+1となる整数B

整数というよりも多項式でしょう。これをBとすると

x^4+1=(x^2-x)B+x+1

x(x-1)B=x^4-x=x(x^3-1)=x(x-1)(x^2+x+1)

B=x^2+x+1

(2)x=√2-1のとき(ア)x2+2x-1 (イ)x4-4x2+6x+2

x=√2-1より

x+1=√2

両辺2乗して整理すると

x^2+2x-1=0 (ア)

これより

x^2=-2x+1 (1)

x4-4x2+6x+2=(x^2-2)^2-4+6x+2=(-2x+1-2)^2+6x-2 ((1)を使用)

=4x^2+4x+1+6x-2=4(-2x+1)+10x-1=2x+3=2(√2-1)+3=2√2+1 (イ)

補足

見やすい解答有難うございます！！
(1)については整数ではなく整式についての問題だったようで大変失礼しました。

頂いた解答を見て、お恥ずかしながら解き方がさっぱりわかりませんでした。
(1)については二行目から、(2)についてもなぜｘ+1＝√2の形にするのかといった所からわかりません。。

現在高校数学Ｉ・Ａを勉強中で、多項式・展開、因数分解・二次関数・三角比までは独学で勉強したのですが、こういった種類の問題がどのような問題で、どのようにして解くかがさっぱりわかってないようです。

もしよろしければ、この手の問題がどのような種類の問題で、どんな勉強をしたらいいか教えて頂けると助かります。

回答No.1

Tacosan

x4 とか x2 とかって, なんなんですか?

しかも (1) は問題として成立していない....