角錐や寄せ棟等の「稜線の曲げ角度」について

質問

お世話になります。よろしくお願いします
住宅の寄棟形状の屋根の稜線の角度や、四角錐を途中で切り取った
形のホッパーの稜線の角度を現場（＝コンパス、さしがね、メジャー、
スマホの関数電卓程度のみでCADは無い）で作図or計算で求めるにはどのような手順があるのでしょうか？
①作図で稜線（斜面と斜面のなす角？）の角度を求める動画は
https://www.youtube.com/watch?v=OeXxPHBUJeI
は何とか見つけたのですがこれはどういう理屈で稜線の角度を作図しているのでしょうか？
②また、計算では「こういう考え方をしてこういう計算の仕方をすれば稜線の角度が分かるよ」という回答が欲しいです（ここでもいくつかヒットするが、同じ質問内でも回答によって角度がまちまちでどれが正解なのか分からない＆理屈の説明が無い）宜しくお願いします
例として寄棟屋根の図を（数字は適当です）上げておきます。
この場合、「面abeと面efcbのなす角」が知りたいです
これの角度を作図＆計算で出す方法を教えて頂ければ幸いです
（実際に会社でやる時は展開図の教科書の手順に従ってコンパスと差し金で作図して切り出した原寸大の段ボールを求める形状になるまで曲げていってその時の角度を角度を測る器具で測るという恐ろしく原始的な方法でやっています(笑)）

回答No.3

gamma1854 · ベストアンサー

３点 a, b, e を通る平面は、x-z 平面上にあり、z=(2/3)x であることはすぐにわかります。しかし、ax+by+cz+d=0 ...(*) が３点を通ることから計算でその式を導出するには、３点を代入し、
d=0, 300a+500b+200c+d=0, 1000b+d=0.
からまず、
b=d=0, 3a+2c=0 を得て、
たとえば、b~d をaで表せば、b=0, c=(-3/2)a, d=0 ゆえ(*)は、
ax+0y+(-3/2)a*z+0=0 ⇔ 2x - 3z=0.
-----------------------
これから、平面 2x - 3z=0 の法線ベクトルは, k(2, 0, -3), (k≠0)
ですが、k=1 として、(2, 0, -3) を法線ベクトルとするわけです。
また、２つのベクトル, vec(X)=(a, b, c), vec(Y)=(p, q, r) のなす角度をφとすると、
cosφ = { vec(X)・vec(Y) } / 【|vec(X)|*|vec(Y)| 】 ...(分子は「内積」)
=(a*p+b*q+c*r)/【sqrt(a^2+b^2+c^2)*sqrt(p^2+q^2+r^2)】
です。(pi-φ とすることあり)

お礼

説明して頂いた方法で計算してみたら2つの方程式＆角度が得られました
これでわざわざ原寸模型を作って角度を測らずに済みます
本当に助かりました！ありがとうございます！！

回答No.2

gamma1854

空間における「平面」は、
ax+by+cz=d
なる１次方程式で表されます。このとき、この平面の「法線ベクトル」は、(a, b, c) です。２平面の「面角」を求めるにはこの法線ベクトルを利用します。
座標軸をすでに書いたように定めると、面abe, 面efcb の方程式はそれぞれ、
2x + 0y - 3z = 0, 0x + 2y - 5z = 0.
となり、法線べクトルは (2, 0, -3), (0, 2, -5) として、これらのなす角度φは、
cosφ = {2*0 + 0*2 + (-3)*(-5) }/ 【sqrt(4+9)*sqrt(4+25)】=0.7725393039 より、φ=0.6879657345(rad) となり、今の場合は両平面のなす角度は、
pi - 0.6879...=2.453626919(rad)=140.582467(deg)
となります。計算そのものはもちろん電卓です。
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さらに何かあればお知らせください。

補足

何度も申し訳ありません
「得られた座標から平面の方程式を計算する方法」、これがどうにも分からないのです。その後のcosθを出してそこから関数電卓のcos^-1で角度を出すことはすぐにできました。
0a+0b+0c+d=0,0a+1000b+0c+d=0,300a+500b+200c+d=0と、0a+0b+0c+d=0,3000a+0b+0c+d=0,300a+500b+200c+d=0からどのような計算手順で2x + 0y - 3z = 0, 0x + 2y - 5z = 0を導きだしたのでしょうか？「a=2,b=0,c=-3」 と「a=0,b=2,c=-5」の答えが何回やっても出てこないのですが・・・

回答No.1

gamma1854

数学として考えます。3次元空間(bを原点O、bcをｘ軸、baをｙ軸とする)
このとき、e(300, 500, 200)であり、
平面abe : 2x - 3z = 0, 平面ebcf : 2y - 5z = 0.
ですから２平面のなす角度をθとすると、
cosθ = { 2*0 + 0*2 + (-3)*(-5) }/{sqrt(13)*sqrt(29)}=0.7725393039
よって、θ=0.6879657345(rad) = 39.41753304(deg)
図の場合は、pi - 0.6879..=2.45326919(rad)=140.582467(deg)
となります。
※近似値ではありますが、測定したものではありませんので、最終桁以外は有効数字です。

補足

ありがとうございます
・２つの平面について二つの式が出てくるのは、「平面の方程式」を各座標から求めたということでしょうか？式を出す過程を教えて頂けませんか？連立方程式なんて、中学以来で全く忘れてしまいました・・・
・その後に角度を出す方法は、
https://manabitimes.jp/math/1270
に書いてある公式を上で導出した方程式にあてはめてcosの値を求め、関数電卓のcos^-1で実際の角度を出した。で合っていますか？
だとすれば、工場の現場で面と面のなす角を求める場合は最低6か所の座標の計算→2つの平面の方程式の導出→平面同士のなす角の公式にあてはめる→スマホの関数電卓でcosの値から角度を求める　で角度を求める事が出来るということでしょうか？