多分区分求積法

質問

S=1+1/√2+1/√3+·······+1/√100とするとき、
n<S<n+1を満たす自然数はn=？

という問題です。
∫[1→100]1/√xdx<S<1+∫[1→100]1/√xdx
から求めるらしいのですが
どうしてこのような式でSを挟むことができる のが理解出来ませんでした。
長方形の面積を利用していると考えるらしいのですがいまいちピンときません。

解説お願い出来ないでしょうか。宜しくお願い致します。

回答No.1

CygnusX1 · ベストアンサー

幅1 で高さが 1, 1/√2, 1/√3, ……, 1/√100 の長方形を左から順に並べます。
長方形の左上の角を順になだらかに繋いでいくと y = 1 / √x の曲線になって、それを積分すると∫[1→100] (1 / √x) dx になります。これは四角の面積の合計よりちょっと小さくなります。

長方形の右上の角を順になだらかに繋いでいくと、上記の曲線を右に 1 ずらしたものになります。
これに左端の高さ1 の四角を加えます。これで四角の面積の合計よりも大きくなります。
絵を描いてみるとすぐわかると思います。

1 / √x の積分はできますよね