お願いします

質問

下の青マーカーが引かれている部分の式の変形の仕方を教えてください。

回答No.2

asuncion

愚直かどうかは知らんけど、
まあこうするんやろね。
nC(n-1) = nC1 = n
2・nC(n-2) = 2・nC2 = n(n-1)
nC(n-3) = nC3 = (1/6)n(n-1)(n-2)
より、マーカー部の分子
= (1/6)(6n + 6n^2 - 6n + n^3 - 3n^2 + 2n)
= (1/6)(n^3 + 3n^2 + 2n)
= (1/6)n(n^2 + 3n + 2)
= (1/6)n(n + 1)(n + 2)
であるから与式を得る。

お礼

すみません。補足の部分理解出来ました。ありがとうございます。

補足

分母は元々6のn乗だったのになぜ6のn+1乗になるのですか？

回答No.1

tmpname

以降 nCrを comb(n, r)と書くことにする

で、愚直に計算すればいいのだが、パスカルの三角形を思い出すと、一般に comb(n+1, r+1) = comb(n, r) + comb(n, r+1)であるから

comb(n, n-1) + 2*comb(n, n-2) + comb(n, n-3)
= { comb(n, n-1) + comb(n, n-2) } + { comb(n, n-2) + comb(n, n-3) }
= comb(n+1, n-1) + comb(n+1, n-2)
= comb(n+2, n-1)
= comb(n+2, 3) = (1/6)(n+2)(n+1)n となることから従う。

お礼

ありがとうございます