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質問

下の問題でx=k上の格子点の個数がn²-k²+1となるのは何故ですか？また、シグマの式でマーカーを引いたところの変形の仕方と∑k=0、0にする理由教えて欲しいです。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

例えば、
x軸より上にある、x＝3上の格子点は
(3、1)
(3、2)
(3、3)
…
(3、9)
(3、10)　←←←点Aと命名
…　
です

下から数えて、点Aは
10番目(Aのy座標番目)
なので、Aも含めて、　
Aの下には10個の格子点があることになります
そして、x軸上の(3、0)も含めて数えるなら
格子点の数は
Aのy座標+1＝11
と言う事になります

これと全く同じように考えて
題意から、x＝kと方物線の交点(点Bと命名)が
B(k、n²−k²)なら
B〜x軸上
には、Bのy座標+1＝n²−k²+1個
の格子点が存在する事になります

次に、
x＝k上の格子点の数＝n²−k²+1＝М(k)個
とおきます
Σの意味はいつか説明したかもしれませんが
kにΣ記号の下の数字から1づつ大きくなる数字を、Σ記号の上の数字まで順次代入して
+記号で結ぶ(和を計算する)…(あ)
です
今回は、領域がx＝0からx＝nまでと言う事で
・x＝kの縦線が、x＝0の位置(つまりk＝0)
にあると時の格子点の個数＝М(0)
・x＝kの縦線が、x＝1の位置(つまりk＝1)
にあると時の格子点の個数＝М(1)
…
・x＝kの縦線が、x＝nの位置(つまりk＝n)
にあると時の格子点の個数＝М(n)
これらを合計する必要があります

(あ)により、これをΣで表すと
求める格子点の個数
＝М(0)+М(1)+…+М(n)
＝Σ[k＝0〜n]М(k)
と言う事になります
М(k)をn²−k²+1個に戻して
＝Σ[k＝0〜n](n²−k²+1)です

そして、矢印の所の計算ですが
こんなややこしい書き方をしていますが
要は
М(0)+М(1)+…+М(n)
＝М(0)+｛М(1)+…+М(n)｝
＝М(0)+Σ[k＝1〜n](n²−k²+1)
と言うように、М(0)＝n²−0²+1だけを分離したと
言う事です
ゆえに、画像のようなΣ[k＝0〜0]の行は書かずに、いきなり、最下部の式を書いておけば良いと思います

回答No.2

f272

x=k上の格子点の個数は0からn^2-k^2までの整数の個数と同じです。1からn^2-k^2までならn^2-k^2ですが、0からn^2-k^2までなら当然にn^2-k^2+1です。
Σ[k=0からn](n^2-k^2+1)はk=0からnまでの和です。これをk=0から0までとk=1からnまでの和にしてもかまわないでしょう。
Σ[k=0からn](n^2-k^2+1)=Σ[k=0から0](n^2-k^2+1)+Σ[k=1からn](n^2-k^2+1)
ここでΣ[k=0から0](n^2-k^2+1)は、シグマ記号を使っているが実際はk=0のときしか加算しませんのでn^2+1です。
でも、この解答に書いてある変形は遠回りだと思う。よく使われる公式はΣ[k=1からn](k)とかΣ[k=1からn](k^2)とかなのだから、n^2-k^2+1をn^2+1と-k^2に分ける方がよい。
Σ[k=0からn](n^2-k^2+1)=Σ[k=0からn](n^2+1)-Σ[k=0からn](k^2)
この第1項はn^2+1をn+1個加えるのだから(n+1)(n^2+1)です。
第2項はk=0からnまでの和ですがk=0のときは0になることは明らかですので、k=1からnまでの和にすればよい。そうすると公式通りに-(1/6)n(n+1)(2n+1)です。
Σ[k=0からn](n^2-k^2+1)=(n+1)(n^2+1)-(1/6)n(n+1)(2n+1)
あとは簡単でしょう。