連分数と絶対値

質問

絶対値の計算で本と合わないところがあるので質問します。
問題は、「無理数λをとったとき、原点から傾きλで引いた直線y=λxは原点以外の格子点を通らない。しかし、直線y=λxにいくらでも近い(すなわち、直線y=λxとの距離がいくらでも小さくなる)格子点が存在する。これを|(p_m/q_m)-λ|<1/(q_m)^2・・・(1)、(p_m/q_m(m=1,2,3・・・)はλの近似分数列)を使って証明せよ。」　です。
本の解答では、(q_m,p_m)は格子点でy=λxとの距離は
{|(p_m-λq_m)|/(√(1+λ^2))}<1/q_m、lim(m→∞)q_m=∞より直線y=λxとの距離がいくらでも近い(q_m,p_m)がある。とありました。
自分がわからない点は、q_m<0のときに(1)より|(p_m-λq_m)/q_m|<1/(q_m)^2ここから|(p_m-λq_m)|<1/(q_m)・・・(2)がみちびけないことです。上記の計算ができたら、{|(p_m-λq_m)|/(√(1+λ^2))}<|(p_m-λq_m)|<1/(q_m)より本の解答につながると思うのですが、自分の計算では、q_m<0のとき(1)が{|(p_m-λq_m)|/-q_m}<1/(q_m)^2、-q_m>0を両辺にかけて|(p_m-λq_m)|<-1/q_mと右辺にマイナスがつき、導きたい式と食い違うのです。どなたかq_m<0のとき(1)から(2)を導く計算を教えてください。またその他自分の考えの間違いがあったら指摘してくださいお願いします。

回答No.2

tmppassenger

> 何かしらのmに対して q[m] < 0となるなら、 p'[m] = -p[m], q'[m] = -q[m] と
> したものを改めて p[m], q[m] とすると、
> (p[m]とq[m]の符号が一致と考えました。)λの近似分数列は正になると思うのですが

p[m] / q[m] = (-p[m]) / (-q[m]) であって、元の近似分数列と符号は変わらないでしょう？ q[m] < 0 となるmに対しては、 p[m] と q[m] の両方の符号を変えると言っているのです。
p[m]とq[m]の符号が違うのなら、-p[m]と-q[m]の符号も異なる。

> λ=-√2などの近似分数列は、q[m] < 0でp[m]>0またはq[m] > 0でp[m]<0になると思うのですが、その場合は考えなくてよいのでしょうか？

その場合は 『q[m] > 0でp[m]<0』 の方だけを考える、と言っているのです。

お礼

分かりやすく場合わけしてくださり、ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

何かしらのmに対して q[m] < 0となるなら、 p'[m] = -p[m], q'[m] = -q[m] としたものを改めて p[m], q[m] とすればいいですよね。

lim(m→∞)q[m] = ∞ とあるのだから、q[m] > 0となるような近似分数列を取っていることを本が意図していることは読み取れる。その位はご自身で補充することが必要です。

お礼

極限の値から、符号の判定をするとは気づきませんでした。お返事ありがとうございます。

補足

よろしければお返事ください。
p'[m] = -p[m]とする理由がわかなかったです。
何かしらのmに対して q[m] < 0となるなら、 p'[m] = -p[m], q'[m] = -q[m] としたものを改めて p[m], q[m] とすると、(p[m]とq[m]の符号が一致と考えました。)λの近似分数列は正になると思うのですが、λ=-√2などの近似分数列は、q[m] < 0でp[m]>0またはq[m] > 0でp[m]<0になると思うのですが、その場合は考えなくてよいのでしょうか？