円と方程式

質問

円 x^2＋y^2－4x＋3＝０について、原点を通る直線がこの円と２点P,Qで交わるとき、この円によって切り取られる線分の中点Mの軌跡を求めよ。

という問題です。
解答よろしくお願いします。

回答No.2

dieucreateur · ベストアンサー

原点を通る直線を　ｙ＝mx　とする。
（ｍは傾きで実数）
この直線と円の交点のx座標は、このｙを代入した方程式の解である。

代入すると、
x^2＋(mx）^2－4x＋3＝０
よって、（m^2+1)x^2-4x+3=0
解と係数の関係より、この方程式の解をα、βとすると、（これらが交点のx座標）
α＋β＝４/（m^2＋1)
αβ=3/(m^2+1)
である。

交点二つの中点は点Mであるので、Mのx座標（Xとする）は（α＋β）/２である。
したがって、X＝２/（m^2＋1)
Mはｙ＝mx　上にあるので、Mのy座標Yは
Y＝2m/（m^2＋1)　である。
X,Yの式よりmを消去すると、
（X-１）^2＋Y^2＝１　これが基本となる軌跡である。

つぎにどの範囲をMが動くかを調べる。
Mの軌跡の端点（厳密には端点は存在しないが。。。）は
α＝β　を満たす。
解と係数の関係からα＝β＝3/2　
円と原点の位置関係よりMの軌跡の領域は　3/2＜ｘ　である。

以上より、求める軌跡は
中心（1，0）　半径１の円の3/2＜ｘ　の部分である。

注
軌跡の問題では解答に数式を直接用いず特徴を述べるのがふつう。
ex
ダメ→（X-１）^2＋Y^2＝１　の　3/2＜ｘ　の部分である。

がんばってください

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname#152422

直線と円の交点の座標がみたす二次方程式の実数解を計算すればいいだけ。
どこがわからないのでしょう？