地方上級公務員試験の数学(判別式)の解法がわかりません。

質問

独学のため頼るところがなく、ここに行き着きました。解答解説が理解できないのですが・・・。
『x,yがx2(x二乗)+y2(y二乗)=1・・・(1)を満たすときのm=y/x-2・・・(2)のとりうる値の範囲』を求める問題なのです。mは直線の傾きを示します。解答解説では
『(2)の式を変形させると、y=m(x-2)・・・(3)より
定点(2,0)を通る直線の式となる。(3)と(1)(原点を中心とした半径1の円)との関係は右図のようになる(図を説明すると定点(2,0)で交わり(3)の円の接点(二点)を通る二本の直線を示している）。題意を満たすには傾きmが二直線の傾きの間にあればよく、二直線と原点との距離が1以下であればよい。よって、|-2m|/ルート(m2+1)<=1となる。』となって
います。この最後の式の意味がわかりません。どなたかよろしくお願いします。接点から原点への線分は接線の垂線になるので三平方の定理より求めていると思われます。分子の『|-2m|』は(3)よりy切片の長さを示している。といったところで分母の『ルート(m2+1)』の意味がわかりません。ルートはm二乗+1をおおってます。

回答No.1

chu-chan · ベストアンサー

こんばんは…。

答えに書いてある通りで、”点と直線の距離”を出し、それが、１以下であれば、円と交わることができます。（つまり解が存在します。）

点と直線の距離の公式は、通る点P（ｓ、ｒ）、直線Aｘ＋Bｙ＋C＝０のとき

L＝｜Aｓ＋Bｒ＋C｜/√（A＾2＋B＾2）

です。これに今回の値を入れると……

ｓ＝０、ｒ＝０、A＝ｍ、B＝－１、C＝－２ｍ　だから…

L＝｜－２ｍ｜/√（ｍ＾2＋１）ですよね？

点と直線の距離の公式は、覚えるのが得策だと自分は思いますが、導出したいのであれば、参考URLにいいのが見つかりました…。どうぞ参考にしてみてください。

説明下手ですみません……　分からなかったら、言って下さい。

参考URL：

http://gakusyu.ne.jp/koshiki/koshiki.htm

お礼

なるほど!!理解できました。高校の頃に習った記憶があるようなないような・・。しかし、解決しましたのでよかったです。ありがとうございました。

回答No.2

Mell-Lily

これは、しばしば、”点と直線との距離”と呼ばれる公式です。

点P
　P:(x_0,y_0)
と直線l
　l:ax+by+c=0
との距離dは、
　d=|ax_0+by_0+c|/√(a^2+b^2)
と表されます。特に、x_0=y_0=0ならば、
　d'=|c|/√(a^2+b^2)
となりますが、これは、原点Oと直線lとの距離d'を表しています。

方程式
　y=m(x-2)
　∴ mx-y-2m=0
であらわされる直線lと原点Oとの距離dは、
　d=|-2m|/√{m^2+(-1)^2}
　=|-2m|/√(m^2+1)
と表すことができます。したがって、
　「直線と原点との距離が1以下」
という条件は、
　|-2m|/√(m^2+1)≦1
と表すことができます。

お礼

公式だったとは・・。とてもわかりやすかったです。ということは私は全く見当はずれのところを考えていたわけですか。もっと勉強せねばいかんようです。ありがとうございました。