面積の等しい三角形と十分条件・必要条件

質問

2つの三角形の面積が等しいことは，２つの三角形が合同である

これは，必要十分条件，必要条件，十分条件，必要条件でも十分条件でもない

のどれでしょうか？

回答No.4

watername

必要条件です。
三角形が同じ面積でも同じ三角形かはわかりません。よって十分条件は成り立ちません。
同じ三角形なら同じ面積といえます。
よって必要条件です。

回答No.3

kiha181-tubasa

この質問と前の質問（ひし形……）を読んでみると，必要条件・十分条件等について理解不十分なのではないですか。この必要条件・十分条件について確認しましょう。すこし長くなりますが重要なことですので我慢して読んでください。

教科書には概ね次のように記述されています。
命題「ＰであるならばＱである（記号で　Ｐ⇒Ｑなどと書きます）」が真であるとき
ＱはＰであるための必要条件
ＰはＱであるための十分条件
です。これは(用語の)定義だと理解してください。つまり，しっかり覚えることが重要です。

＜例＞
正三角形であるならば二等辺三角形である
という命題は真の命題ですね。ですから
二等辺三角形であることは正三角形であるための必要条件
正三角形であることは二等辺三角形であるための十分条件
です。
こう書くと，「正三角形であるための条件はもっとあるじゃないの？」などの疑問を持つ人もいるでしょうね。そうなんです。正三角形であるための条件はもっとあるのです。しかし，今はそんなことを問題にしていないのです。
「正三角形である」という事（条件）と「二等辺三角形である」という事（条件）の関係についてだけ問題にしているのです。

＜もう一つの例　数学以外の例＞
「東大生ならば大学生である」
も真の命題です。ですから
「大学生である」ことは「東大生である」ことの必要条件
（たしかに，大学生でなかったら東大生であるはずないですからね）
「東大生である」ことは「大学生である」ことの十分条件
（京大生も大学生だなどと言わないでください。いま問題にしているのは東大生であることと大学生であることの２つだけの関係ですから）

どうですか，必要条件十分条件に付いてご理解いただけましたか。

ではご質問への回答です。
「２つの三角形の面積が等しい」ことと「２つの三角形が合同である」ことの必要十分性に関する質問でした。

「２つの三角形の面積が等しい」⇒「２つの三角形が合同である」
この命題は真ではないですね。真でない（偽である）ことの証明には「ほら偽でしょう」という例を提示すればよいのです。このような例を「反例（成り立っていないことを示す例）」と言います。
三角形αを底辺の大きさが４で高さが６の三角形としますと面積は１２
三角形βを底辺の大きさが８で高さが３の三角形としますと面積は１２
で２つの三角形αとβは面積は等しいですが，明らかに合同ではありません。ですから
「２つの三角形の面積が等しい」⇒「２つの三角形が合同である」
は真の命題ではありません。（このように反例を挙げるのは立派な数学の証明なのですよ）

「２つの三角形が合同である」⇒「２つの三角形の面積が等しい」
合同ですから面積を求めるための底辺の大きさと高さがそれぞれ等しくなりますから，明らかに２つの三角形の面積は等しくなります。つまり
「２つの三角形が合同である」⇒「２つの三角形の面積が等しい」
は真の命題です。

以上の事から
「２つの三角形が合同である」⇒「２つの三角形の面積が等しい」
だけが真の命題です。（「だけ」とは矢印の向きはこの向きだけというつもりで書きました）
このことから言えることは
「２つの三角形が合同である」は「２つの三角形の面積が等しい」ことの十分条件である
です。

（また「２つの三角形の面積が等しい」は「２つの三角形が合同である」ことの必要条件です）

回答No.2

BUN910

合同という条件では、必要条件ではないです。
何故なら、三角形の面積は(底辺)×(高さ)÷2ですよね。
(底辺)×(高さ)で同じ数字になるのは沢山あるからです。
例えば、6×8、8×6、4×12、12×4・・・これは全て48になりますよね。

回答No.1

tootattatato

逆は成り立つので、、、、ということは？

お考えください。