余弦定理のθが鈍角の時の180-θ

質問

三角関数の180-θの考え方に関連する事で、

θが鈍角の時の余弦定理の証明で、三角関数の符号の考え方以外は解ります。

a^2=b^2sin^2(180-θ)+(c+bcos(180-θ))^2
から右辺を(180-θ)のまま展開すると、

b^2sin^2(180-θ)+c^2+2bccos(180-θ)+b^2cos^2(180-θ)
ここで(180-θ)で変わる符号を考慮すると、
b^2sin^2(θ)+c^2+(-2bccos(θ))+(-b^2cos^2(θ))
となってしまい、

b^2cos^2(θ)の項の符号が-なので、その後の
sin^2(θ)+cos^2(θ)=1に当てはまらないような気がしてしまいます。
もしくはsin^2(θ)+(-cos)^2(θ)=1みたいな事で、
(-cos)^2(θ)の項は、二乗して+になるとかいう事なのですか?
三角関数の符号の考え方がよく解りません。

どのように考えるのでしょうか?

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>b^2(-cosθ)^2の様な項は、-b^2(cosθ)^2としてもいいのかどうかです。

2乗してるんだから間違い。b^2(-cosθ)^2＝b^2(cosθ)^2

お礼

なるほどです!!ありがとうございました。

回答No.2

spring135

θが決まればcosθは単なる数値です。符号がプラスでもマイナスでも2乗すればプラスです。

cosθ＝pとおくと

（-cosθ)^2=(-p)^2=p^2

回答No.1

spring135

>b^2cos^2(θ)の項の符号が-なので

間違いです。

b^2cos^2(180-θ)＝b^2(-cosθ)^2=b^2cos^2(θ)

こんな計算は最初の段階でsin(180-θ)=sin(θ),cos(180-θ)=-cos(θ)を用いて整理すべきです。

a^2=b^2sin^2(180-θ)+(c+bcos(180-θ))^2

=b^2sin^2(θ)+(c-bcos(θ))^2

=b^2sin^2(θ)+c^2-2bccosθ+b^2cos^2(θ)

=b^2+c^2-2bccosθ

なお、180-θなどと書くと必ず減点されます。180°-θでなければなりません。

補足

この場合は確かに(180°-θ)のところを最初に整理する方が簡単ですし、
調べると殆どその方法で解説されています。

ですが、三角関数を使用して色々な問題を解いていくに当たっては、
(180°-θ)のような場合を最初に整理すべきかどうかは、問題によると思うのです。

PCからの入力なので表現しずらいところもありますが、
疑問に思っていた事が明確になってきました。

b^2(-cosθ)^2の様な項は、-b^2(cosθ)^2としてもいいのかどうかです。
その辺の解説が見つけられないのです。