δ(t)のフーリエ変換→1になる意味

質問

δ(t)のフーリエ変換→1になる意味

∫δ(t)*exp(-iωt)dt=1
計算すればこうなることは分かるんですが
この計算した結果の意味がわかりません
t領域→ω領域への変換で

全てのωで常に1の値を持ってる

こんな意味なんでしょうがさっぱりです
そもそもこの関数の周波数って何？って感じなんですが
どなたか分かりやすく教えてください

回答No.3

hitokotonusi · ベストアンサー

逆のほうが考えやすいので、

∫δ(ω)*exp(iωt)dt=1

これだとδ(ω)はω＝０だけで値を持つという事なので、直流成分。
つまり時間によらず値が一定。(2πは省略)

さて、フーリエ変換は

F(ω) = ∫f(t) exp(-iωt)dt

わかりをよくするために和で書き直してみると

F(ω) = Σ f(ti) exp(-i(ti)ω) Δt
= f(t0) exp(-i(t0)ω) Δt+f(t1) exp(-i(t1)ω) Δt+・・・

こうしてみると、フーリエ変換はexp(-i(ti)ω)という指数関数、つまりは、cos((ti)ω), sin((ti)ω)という三角関数の重ね合わせとして表現することになるわけです。

さて、この場合、ωの関数と見たときのtiの役割はなんでしょうか？
もうおわかりと思いますが、ω空間になると時間と周波数の役割が入れ代わります。
したがって、ω空間での三角関数は時間tの値によってその山から山までの間隔(ω空間での周期)が決まります。

以上を踏まえると、

∫δ(t)*exp(-iωt)dt=1

のδ(t)はt=0だけで値を持つ間数なので、ω空間での直流成分を表します。
つまり全てのωで値が一定。これは、すべての振動数成分の振幅が等しいということです。

これを実空間で解釈し直せば、

t=0のみで値を持つ関数では、すべての振動数成分が等しい重みで重ね合わされている

となります。これは逆変換

δ(t) = ∫1・exp(iωt)dω　(意味を明確にするため、2πを省略)

を考えれば意味がわかると思います。
和の形にすれば、さらにわかりやすいかもしれません。

δ(t) = Σi 1・exp(i(ωi)t)Δω
= 1・exp(i(ω0)t)Δω＋1・exp(i(ω1)t)Δω＋・・・

お礼

分かりやすかったです
ですが自分頭悪いので完璧にはまだ分かってません
繰り返し読み直し勉強してみます
ありがとうございました

回答No.2

sewingcough

#1さんが数学的なお叱りの言葉を書いていたので、
カテ違いですが私は物理的なモノの見方でも・・・

フーリエ変換をイメージするとき
私がイメージするのは不確定性原理です。
フーリエ変換で結ばれた2つの変数については
不確定性原理が成り立つので
?t?ω≧1/2
となります。ということは、
tの曖昧さをどんどん小さくしていくと
ωの曖昧さはどんどん膨らんでいきます。
つまり、tの曖昧さがデルタ関数程度になれば
ωの曖昧さは無限大に発散するので、
全ての周波数を含んでいる・・・
といった感じで私はイメージしています。
もし短時間フーリエ変換という解析法をご存知なら
想像するのはより容易かと思います。

まあ、実はこの説明は逆コースなんですが・・・
でも頭で想像するときには多少役立つかもしれません。

お礼

曖昧さなど勉強不足であまり分かりませんが
なんとなくで理解できました
ありがとうございました

回答No.1

alice_44

フーリエ変換を常に周波数解析と考える癖は卒業したほうがよいです。
フーリエ変換は周波数解析への応用が有名（というか発祥）ですが、
その正体は、無限次元空間の座標変換に過ぎません。

お礼

少し調べてきました
全てのω　
これが無限次元みたいですね
回答ありがとうございました