二次方程式の共通解問題

質問

下線部の、「共通解があるとして、それを文字におく、ここから得られる結果は必要条件だ。」とありますが、なぜそうなるかわかりません。というか、そもそも共通解を持つための条件を求める問題で、共通解があると仮定して回答を進めても良いんですかね？

回答No.3

tootattatato

時間あったのでちょっと調べました。

二次方程式　共通解問題　でググると真っ先に上がる｢受験の月｣というサイトの解説が秀逸だと思います。

参考になさると良いでしょう。

回答No.2

tootattatato

私の説明が下手くそだったので仕方ないです笑

私もうろ覚えなとこあるので

それはさておき

その問題のように、結論を仮定してから逆を辿って十分条件を求めて

P⇒Q　が真であることを示す問題は、それと意識しなくてもこれまでずっとやってきているはずなんです。

〇〇となるような条件を求めよ

という表現の問題はすべてそう。

〇〇となる、というのはP⇒Qの結論Qを先に仮定しているだけです。

実数解の配置問題なんかもそう。

先にその範囲に解があると仮定しているだけです。

ですから、命題が真であることを仮定すれば仮定した結論が自ずと必要条件となるのは必然なんです。

数学Aで学びましたね。

しかし、それだけではただ仮定しただけなので、ぶっちゃけ誰にでも出来る根拠に乏しい命題になってしまいます。

根拠とは、十分条件です。

仮定したαが実数解の具体的性質に則れば、具体的にどんな条件(不等式など)を満たすか、というのを検証するのがその問題の主題となります。

言葉だけだと難しいですかね？(^^;)

もし時間がおありなら、順像法と逆像法、同値性などについてもお調べになると理解が深まるかも知れませんねー

回答No.1

tootattatato

数学の言葉のマジックとでも言いましょうか。しかし必要なことなんですね。

たとえば、平面図形の作図なんかはわかりやすいかと思います。

ただそれっぽく作図しただけでは足りないじゃないですか。作図に至るまでの過程がキチンとその図形に特徴的な条件を満たしているかどうかを検証せねばならない。

こういうのを｢逆を示す｣と言います。

簡単な例としては、円の作図

円とは、ある一点からの距離が一定の点の集合

でした。コンパスを使えば、一定の距離は作れますし、一点を決めればその一点を回転軸にしてぐるりと一回転して描かれた点のすべてが、円であるための条件を満たしてますから、これは立派に円の作図です。

しかしあまりにも文章的すぎると数学的言葉のマジックに当てはめるのは難しくなるので、よりわかりやすくするために

ある点の集合と、その内部に一点Oがある。
P：点の集合の任意(好きに選べる)の点PとOについてOPは常に一定である
Q：P全体の集合は円である

とでも形式化しましょう。

軌跡や作図においては
P⇒Qが真であること、Q⇒Pが真であることがともに示されてはじめて成立します。

ただし、逆が端折られることはままあります。数学Ⅱの図形と方程式の軌跡なんかは端折ることありきみたいなことになってます笑

横道に逸れた感がしなくもないですが、やってることはその問題も同じです。

二つの二次方程式に共通する解をαと仮定しただけでは、ただQを述べているに過ぎません。
本当Qであるなら、逆を辿ってαがPも満たすことを示さなくてはなりません。

なので、Qであると仮定した場合、その仮定のもと以下略～

と話を進めていくのが数学の一つの手法です。

かえってわかりにくくなってしまったでしょうか、、、？？

でしたらすいません。

補足

ご回答ありがとうございます。
軌跡は最近勉強したのでP=>QとQ=>Pを確認することでP<=>Qを確かめることはなんとか理解できました。
しかし、それと今回の方程式の問題に結びつきが感じられません。特に理解しかねたのが
「なぜ実数解があると仮定した式がQを述べていることと同じなのか」という点です。そこを詳しくお聞きしたいです。質問重ねて申し訳ありません。