二次方程式の共通解問題

質問

下線部「共通解があるとしてそれを文字で置く。そうして得られたaは必要条件である。」
こうなる理由がわからないです。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

＞「xが存在するとして、それをαとした式(2.4)かつ(2.5)がxが存在するための必要条件となる」のはなぜかということです。

「(2.4) と (2.5)が同時に成立するような数の組 (a,b,α) (a,bは実数) が存在すること」は
「題意をみたすxが存在すること」の必要十分条件です。

この問題集の解説がいいたいのは
(2.4) と (2.5) から得られた (*) だけだと、これは必要条件にすぎない
ということではないでしょうか。
この解説では「必要条件である」と断言していますが、同値性を保ちながら変形していけば必要十分条件になります。
この解説は「この手の問題では式変形の途中で一方通行（必要条件）になりがちだから気をつけよう」と言いたいのかと思います。

回答No.2

abiwirang

この問題は、二次方程式の解を求める問題です。

二次方程式ax^2 + bx + c = 0が与えられており、その解をx = p, qとします。

このとき、二次方程式の解の公式より、p, qは以下のように表されます。

p = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2a
q = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a

ここで、p, qは互いに異なる解ですが、問題文には共通解があると仮定しています。つまり、p = qとします。

そうすると、上記の2つの式を等しく置くことができます。

(-b + √(b^2 - 4ac)) / 2a = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a

この式を整理すると、

-b + √(b^2 - 4ac) = -b - √(b^2 - 4ac)

となります。両辺にbを足して、2b = 0となるため、b = 0です。

そして、b = 0を二次方程式の解の公式に代入すると、

p = q = -c/a

という共通解を得ることができます。

したがって、この問題では、共通解が存在するためにはb = 0である必要があります。そして、この条件を満たすと、共通解は-c/aとなります。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

式(2.4)と(2.5)を同時に満たすa,b,αの組（aとbは実数）を求めることになります。ようするに「連立方程式 (2.4) かつ (2.5) を解く」ことが目的です。

解答1にある (2.4) × a - (2.5) という操作でα^2 の項を消去し、αについての一次式にしています。このαの一次式を (*) とします。

必要条件である、というのは

(2.4) かつ (2.5) → (*) は真であるが
(*) → (2.4) かつ (2.5) は真とは限らない

ということです。(*) から得られる条件はa,b,αに関する条件の一部でしかなく、もとの式 (2.4) や (2.5) を満たすとは限りません。
(*) から得られる条件を (2.4) または (2.5) に代入することで、やっと「連立方程式 (2.4) かつ (2.5) 」を解いたことになります。

このような状況は、この問題だけでなく連立方程式全般で起こります。たとえば
x + y = 1 …①
2x + 3y = 1 …②
という連立方程式を解くとき、②ー①より
x + 2y = 0 …③
という式を得ることもできますが、この③をみたす(x,y)の組がすべて「①かつ②」をみたすわけではありません。
「①かつ③」または「②かつ③」を解き直すことで求める解を得ることができます。

補足

連立方程式の同値変形ですね。ありがとうございます。
たしかに、(*)が(2.4)かつ(2.5)の必要条件であることはわかるのですが、
私が改めてお聞きしたいのは
「xが存在するとして、それをαとした式(2.4)かつ(2.5)がxが存在するための必要条件となる」のはなぜかということです。
写真の例題の文章の上の方にも書かれているのでそちらもご参照ください。質問を重ねて申し訳ありません。