ブラックホールの数学を教えてください。

質問

これは、物理学の質問ではなく、純粋に数学の計算問題です。計算過程も必要ありません。答えだけを教えてください。

v = {√(S/x)}(1-S/x)

これは、物体がブラックホールの無限遠方に静止した状態から、まっすぐ物体がブラックホールに自由落下する場合の物体の位置(x)と速度(v)の関数だそうです。
あと、位置はブラックホールの中心からの距離(換算半径)で、Sはシュバルツシルト半径という定数です(詳細はここではどうでもいいです)
(ちなみに式には視点(座標)というものが必要で、この場合の視点は無限遠の視点ですが、それもどうでもいいです)

私が知りたいのは、時間と位置の関係です。それを求めるためには、積分すればいいのですか。だとしても、計算できません。

もっというと、「無限遠から
自由落下を始める場合」というのは、非現実的なので、できれば有限の位置aから自由落下する場合の「時間」と「位置」の関数です。

答えだけを教えてください。

(条件が足りないと思われる場合は、最初の式は、たぶん、アインシュタイン方程式というものの解のひとつであるシュバルツシルト解からきているものです。ここには書けないほどなので、検索していただき、そこまで遡って条件を整えた上で答えを教えてください)

回答No.5

Nakay702

再々度の補足を拝見しました。

＞aまでいって落ちてくる初速と脱出速度は違います。これは大まかに式は似ていても、全く同じ形ではないと思いますが。少なくとも、あの式にx=aを入れてみたところで、それは無限遠からaの位置にきたときの速度であって、質問はaで静止していたものが自由落下を始めたらどうなるかというものです。かたやaで静止していて、かたや、aで速度があります。
＞あと、この質問はブラックホールの数学を教えてくださいというもので、カテゴリーも数学カテゴリーを選んでいます。数学として答えを知りたいです。
⇒補足のコメントをいただいてからずっと考えていましたが、結局何も分かりませんでした。浅学の悲哀に沈んでしまいました。ブラックホール、シュバルツシルト半径、相対性理論、リーマン空間、多体問題などなど、いろいろなことが絡んでくる状況のようなでして…完全お手上げ状態です。お答えできないことをお詫びします。

回答No.4

Nakay702

引力は距離の二乗に反比例して小さくなりますので、ブラックホールから遠く離れるほどに引力は極端に小さくなるでしょう。しかし、しつこくてすみませんが、どこかの位置まで遠ざかれば「質的変化」が生じるということでもない限り、aがどこであろうと、v = {√(S/x)}(1-S/x) が変ることはないと思います。

補足

ある位置ｒから物体を打ち上げるときのことを考えてください。
aまでいって落ちてくる初速と脱出速度は違います。これは大まかに式は似ていても、全く同じ形ではないと思いますが。少なくとも、あの式にx=aを入れてみたところで、それは無限遠からaの位置にきたときの速度であって、質問はaで静止していたものが自由落下を始めたらどうなるかというものです。かたやaで静止していて、かたや、aで速度があります。

あと、この質問はブラックホールの数学を教えてくださいというもので、カテゴリーも数学カテゴリーを選んでいます。数学として答えを知りたいです。

回答No.3

Nakay702

お言葉ですが、無限と無限遠は全然違いますよ。「無限遠」は、辞書的には、「カメラと被写体の距離が大きく、被写体から来る光が（カメラ目線で）平行光と見なせる距離」ですから、どんなに遠くてもせいぜい数光年程度でしょう。それに対し宇宙的距離は数億光年であっても無限とは言えず、ごく普通の有限遠ですよ。とうことで、v=-√2GM(1/r-1/a) で、a→∞と見なしたり、もとの式を v=-√2GM/rとするなど、ほとんど意味をなさないことだと考えます。

補足

シュバルツシルト解というのは、何もない広さ無限の宇宙に、球対称で自転しない巨大質量がポツンとひとつだけあるということにして、その周辺に広がる時空の歪みの様子を表すものです。重力は無限の彼方(無限遠)まで及びます。

何にしても科学理論は、単純化、モデル化して考えます。普通に地球に自由落下するときだって空気がないものとして考えたり、なんかの運動を摩擦がないものとして考えたり、そんなことはいくらでもあります。

それと、例えば、第二宇宙速度というのは上に打ち上げた物が無限遠にまで達することができる初速です。地球表面の場合、秒速11㎞で、これは宇宙が有限だとしても、何か行く手に邪魔ものがあるとしても、計算上は無限遠まで達するように操作して計算します。

シュバルツシルト半径の外側から上に物を打ち上げたとき、無限遠で静止するに至れば、これを時間反転させたのが、質問に出ている式に近いことになります。どの高さまでいくかは、初速しだいで、aの高さまでいく場合(aで速度が0になる)と無限遠までいく場合は明らかに式の形が違うと思います。なんかの項があるかないかくらいの違いだと思います。

回答No.2

Nakay702

遅ればせながら、質問者からの補足を拝見しました。

≫ v = {√(S/x)}(1-S/x) のxの位置にaを入れればいいだけでしょう？
＞それは、無限遠で静止していた物体がaの位置にきたときの速度が求まるだけだと思います。私が知りたいのは、aの位置に静止していた物体が自由落下を始めた場合の時間と位置の関数です。また、aの位置に静止していた物体が自由落下する場合は、位置と速度の関係であるv = {√(S/x)}(1-S/x) という式自体も違うものになると思いますが、私はそれを知りません。
⇒ブラックホールのシュバルツシルト半径周辺にあるものは早々に引き込まれることになりますが、遠方にあるものは、多体間の引力関係のバランスが崩れた場合などにブラックホール方向に向かって移行、落下し始めることになるものと推測されます。

最初のご質問で、《v = {√(S/x)}(1-S/x) これは、物体がブラックホールの無限遠方に静止した状態から、まっすぐ物体がする場合の物体の位置(x)と速度(v)の関数だそうです》とお書きでしたね。ここにすでに今回お尋ねに対する答えが入っていると思いますよ。「物体がブラックホールの無限遠方に静止した状態から」とは、「最大限を含む」という意味でしょう。であるとすれば、それは「どこから始まっても、この方程式が該当する」という意味になりませんか？

つまり、「aの位置に静止していた物体が自由落下する場合は、位置と速度の関係であるv = {√(S/x)}(1-S/x) という式自体も違うものになると思います」の最後は、「～という式自体も同じものになるはずです」と言い換えられるべきだと思うのです。「オウム返しの部分否定」のような恰好ですみませんが、私はこれが正解だと信じてやみません。

補足

ニュートン力学で考えます。

aの位置で静止していた物体が自由落下する際の速度と位置の関係は、

v=-√2GM(1/r-1/a)

だそうです。(Gは万有引力定数、Mは落下する先の天体の質量)

以上はサイトから拾ってきました。

ここで、最初に静止していた位置の設定をどんどん増やす。つまり、a→∞としたときには、もとの式は
v=-√2GM/rとなりますね。
これは、無限遠で静止していた物体が天体に自由落下しているときの距離と速度の関係です。
両者の式は違いますね。

ニュートン力学でも違うのだから、相対性理論でも違うのではないでしょうか。

あと、無限遠で静止していた物体が自由落下するときの時間と位置の関係は、考えただけでも使い道がありません。(位置と速度なら意味があるとは思います)
なぜなら、無限遠で静止している物体が有限の位置に来るだけで、無限の時間を要します。これは自明ですよね。

回答No.1

Nakay702

あまり自信ありませんが、以下のとおりお答えします。

＞有限の位置aから自由落下する場合の「時間」と「位置」の関数です。 答えだけを教えてください。
⇒ v = {√(S/x)}(1-S/x) のxの位置にaを入れればいいだけでしょう？

あとは両辺を二乗して v^² = (S/a)(1-S/a) としたあと、普通の加減乗除の四則演算だけでaの値が求まりますよね。なぜなら、当該ブラックホールの質量が分かればSは定数化するわけですから。…ということではだめなのでしょうか。

＊とんでもない勘違いをしているかも知れませんが、その場合はどうぞ無視なさってください。疑問・疑念・異論などがありましたら、コメントをいただければ有難いです。

補足

回答ありがとうございます。誤解があるかもしれません。以下に書きますが、私も素人なので、間違っていたらすみません。

＞ v = {√(S/x)}(1-S/x) のxの位置にaを入れればいいだけでしょう？

それは、無限遠で静止していた物体がaの位置にきたときの速度が求まるだけだと思います。私が知りたいのは、aの位置に静止していた物体が自由落下を始めた場合の時間と位置の関数です。また、aの位置に静止していた物体が自由落下する場合は、位置と速度の関係であるv = {√(S/x)}(1-S/x) という式自体も違うものになると思いますが、私はそれを知りません。