高校の数学の宿題がわかりません

質問

以下の数学の宿題がわかりません。途中式も含めて教えてください。お願いします。

2つの自然数の組を次のように並べるとき、(m,n)は何番目にあるか。
(1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(2,2),(1,3),
(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),(5,1),(4,2),・・・

次の漸化式で与えられる数列の第n項a(n)をｎの式で表せ。
a(1)=-2, 3a(n+1)+a(n)=1

回答No.1

wild_kit

こりゃややこしいですね。

(1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(2,2),(1,3),(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),(5,1),(4,2)・・・横に並べているだけだと分からないですが、以下のように切り分けてみます。

(1,1),
(2,1),(1,2),
(3,1),(2,2),(1,3),
(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),
(5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)

　上から一段目だけなら１、上から２段目までだと３、上から３段目までだと６。
規則性が見えてきました。
上からｘ段目までの合計は、｛（ｘ＋１）ｘ｝／２です。
そして上からｘ段目のそれぞれの括弧の中を見てみると、その和が同じだと気づきます。
ｍ＋ｎ＝ｘ＋１ですね。
ですから、先ほどの式は｛（ｍ＋ｎ）（ｍ＋ｎ－１）｝／２とできます。
またｎがｘ段目の左から数えて何番目かを示しています。

与えられた（ｍ，ｎ）がその段の途中にあるかもしれないので、その前の段までの合計数とｎを足すことで、何番目にくるかを計算しましょう。

ということで、（ｍ，ｎ）は、［｛（ｍ＋ｎ－１）（ｍ＋ｎ－２）｝／２］＋ｎ番目にきます。