四次元とはどんな形ですか？
0次元が点とか1次元が線とかいうような切り口の解説は飽きるほど見てきましたが、四次元がどんな形なのはいまだに納得するイメージが得られていません。
線も面も立体も、その図形自体がその図形を含む空間に対して、それぞれ曲線、曲面、球体等という形で「曲がる」という性質を持ち得えますよね。そこからの類推で、記述に四次元を要する図形も、その図形の外側に対して曲がった部分を持っているのだろうなということは分かります。
また同様に、線も面は言うまでもなく、立体もメッシュ球といった例があるように、1次元から3次元までの図形のどれもが、線によってその全体像を表現できるということからの類推として、四次元もメッシュのような形で線分を使って表現可能なものであるのだろうと思います。
分からないのは、四次元の図形というものは空間に対してどのような占め方をするものなのだろうということです。
面は線を無限に集めたものだとたとえられることがありますが、やはり認識的には線と面、長さと面積というものは質的に異なるものに感じられます。面と立体もやはり、厚みを持たないものと厚みもといふくらみを持つものとして根本的な差異を感じます。
そうして立体に対して四次元の図形とは何かということになるわけですが、線と面は異なる、面と立体は異なる、という類推からいくと、立体と四次元の図形も根本的に異なるものなのだと思います。また体積と超体積も質的に別物なのでしょう。しかしどうにも私自身がいまだに超体積に対して体積の単純な延長上の概念としか認識できていないように感じます。
多胞体という言葉がありますけど、この言葉を使っている専門家はともかくとして、少なくとも私にとって胞がたくさんあるような図形というのはぶどうのようなものとしかイメージできず、三次元的な認識に囚われてしまっている感が否めません。線を無限にたくさん集めたものに対する面はちゃんと質的に異なるものとしてイメージされるのに、立体(胞)をいくら集めても所詮ぶどうのような、三次元に収まるものとしか考えられないわけです。
今まで書いたことをまとめれば、四次元の図形というのは、他の図形同様曲がるという性質を持つことができて、メッシュで全体像を描くこともできるようなもので、でもそれより下のどの次元の図形とも質的に異なっている図形である、ということで四次元に対して理解しているということです。
球を無限に薄く切っていった円を、再度円を順序よく貼り合わせれば球になることは当然のことです。三次元については各z座標に対応するいくつかの断面を見ただけでも、大ざっぱにこれは「球の断面図だな」と全体像を把握できてしまうでしょう。
しかし四次元も変数を一つ固定して得られる各立体を断面図とみなすものですが、どんなに細かくいろんな断面図を見ても、そもそもある断面図とそれにごく近い断面図がそれぞれどのように「くっついているのか」がわかりません。三次元の球から得られる断面図という場合であれば、ある断面図とそのごく近くの断面図のくっつき方は、上下の断面の端がなす輪郭が円周のごく一部になっているようなくっつき方(重なり方)なわけでしょう。それが全ての断面同士の関係においてそうであるということで、その完成形の球ともイメージの整合性がとれているわけです。
他方たとえば三次元球面は、二つの二次元球面の面同士をその内部が重ならないようにくっつけた形だといます。。二つの二次元球面が代表的かつそれで全体を構成するのに必要十分な、そういう四次元の図形の断面図とみなせるものなのでしょうが、この二つの断面図のくっつき具合が皆目見当がつきません。せいぜい団子のようなイメージしかできず、これは多胞体といわれてぶどうしか想像できないように、三次元からの質的な転換がまだできていないということなのだと思います。
結局四次元とはどんな形なのでしょうか?換言すれば、四次元の断面図のくっつき具合はどのようになっているのでしょうか？
お礼
きれいな図までつけていただいて ありがとうございました。