代数学について

質問

A={p_0 + p_1x +p_2x^2 +・・・・+p_nx^n | p_0,・・・p_nは実数, n=0,1,2・・・}

とおく。a,b∈Pに対し、

a〜b を 「a-b が、x^2+1で割り切れる」とする。

[a] , [b]∈A/～ に対し、

それらの和を [a] + [b] = [a+b]

積を [a] [b] = [ab]

によりwell-definedかどうか示せ。

参考書を見ながら色々やっているのですが、イマイチ上手く行きません。
解説をお願いしたいです。

回答No.16

tmppassenger · ベストアンサー

> 以上のような形で大丈夫でしょうか
はい、大丈夫です。

> [g]∈Aは明らかに分かるとして大丈夫でしょうか？
何がひっかかっているかがよく分かりませんが、はい。

> これは代表元のとり方を変えているだけで、
> 任意の[f]の代表元で成り立つという理解で大丈夫でしょうか。
そのために積がwell-definedだという証明を事前にしたのです。

お礼

大変遅くなってしまい申し訳ありません！
ありがとうございました！

回答No.5

tmppassenger

はい、そこまでは大丈夫で、よって[a]+[b] の定義はwell-definedという事が示された事になります。積の方も同様です。

補足

ありがとうございます！
積の方も見てもらっても良いですか？

回答No.4

tmppassenger

> (f+h)-(g+I)=f+h-g-I
> としてよいのか

むしろ何故ダメなのですか？今f, g, h. lは普通の1変数多項式なのですから、単なる式変形ですよね？

補足

実数などの数ならば普通に可能だと思ったのですが、
多項式となると数のように普通に計算して良いものなのかわからなくてどうなのかなと思っていました。

可能なのであれば
(f+h)-(g+I)=f+h-g-I = f-g+h-I=(f-g)+(h-I)

=(x^2+1)z + (x^2+1)a = (x^2+1)(z+a)
↑ここは多項式同士の和なので因数分解できるという考えで大丈夫ですか？

よって(f+h)-(g+I)はx^2+1で割り切れるので、
(f+h)~(g+I)
よって[f+h]=[g+I]が示せてwell-definedである。
大丈夫ですか？

回答No.3

tmppassenger

あ、合っていると思ってよく見てなかった...

> [f]=[g] , [h]=[I] とし、 [f+g]=[h+I], [fg]=[hI]
> を示せばいいこと

そもそもこれが違う。示さなければいけないのは、[a+b] [ab]がwell-definedである事なので、 [f]=[g] , [h]=[I] の時、[f+h] = [g+l] 及び [fh] = [gl] である事です。

補足

すみません、そうでした。
ありがとうございます。

(f+h)-(g+I)=f+h-g-I
としてよいのかが分からなくて進んでおりません。
よいのでしょうか？

回答No.2

tmppassenger

取り敢えず [f] = [g] ⇔ f ~ g ⇔ ある多項式 z が存在し、f-g = (x^2 + 1) zとなる
というのは分かりますか？
これが分かれば、[h]=[I] というのも同値の表現が分かるはずだし、この時、[f+g]=[h+I] というのが何を示せばいいかわかるはず

補足

「取り敢えず [f] = [g] ⇔ f ~ g ⇔ ある多項式 z が存在」し、f-g = (x^2 + 1) zとなる」

これは f-gがx^2+1で割り切れることを式で表しているということですよね？

「[h]=[I] というのも同値の表現が分かるはずだし、この時、[f+g]=[h+I] というのが何を示せばいいかわかるはず」

[h]=[I] ⇔ h ~ I ⇔ ある多項式 a が存在」し、h-I = (x^2 + 1) aとなる」ですよね。

[f+g]=[h+I] つまり 、『ある多項式bが存在し、
(f+g)-(h+I)=(x^2+1) b となる』ことを示せばいいということですよね。

ここまではわかっていたのですが、この先がどうも分からなくて、教えて頂きたいです。

回答No.1

tmppassenger

どの辺まで考えていて、具体的にどこが分からないか、補足に下さい。
環論の知識を用いれば、これはRを実数体として、実数係数の一変数多項式環 A = R[X] において、f = x^2 + 1∈ R[X] により生成されるイデアル fA による剰余環 A/fAを考えることに相当します。

補足

問題文は理解出来ています。
well-definedであることを示すのに、
[f]=[g] , [h]=[I] とし、 [f+g]=[h+I], [fg]=[hI]
を示せばいいことはわかるのですが、ここから出来なくて困っています。

また、イデアルや剰余環などの言葉は使わないで教えてくれると助かります。

よろしくお願いします。