微分積分
数学の問題を解いたのですが、解答がないので答え、途中式があっているのか分からず困っています。
皆さんの力を是非お貸しください。
I f(x)=x^x(x>0)の最小値を求めよ。
＊x^xは「xのx乗」と言う意味です
私の解答)[対数を使うのでは？と思いました]
g(x)=logf(x)=xlogx
xは0に近づくにつれ、限りなく0に近くなる。
logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。
よってxlogxは限りなく小さくなり、
最小値はない。・・・・(答え)
II ∫xe^(－ax) dx(a>0)を計算せよ。
[0 ∞]
＊∫ は定積分で∫の上側に∞、下側に0がある意味で使っています
[0 ∞]
＊e^(－ax)はeの－ax乗と言う意味で使っています。
私の解答)[部分積分を使うのでは？と思いました]
f =x f' =1 g' =e^-ax g =-a・e^-ax
∫xe^(－ax) dx=[-ax・e^(-ax)]－∫(-a・e^-ax)dx
[0 ∞] [0 ∞] [0 ∞]
=-a・e^-ax・∞+a・e^-ax ・・・・(答え)
III ∫xcos(ax)dx(a≠0)を計算せよ。
[0 1]
私の解答)(IIと同様に部分積分か？と思いました)
f =x f' =1 g' =cos(ax) g =sin(ax)
∫xcos(ax)=[xsin(ax)]－∫sin(ax)
[0 1] [0 1] [0 1]
=sin(a)+[cos(ax)]
[0 1]
=sin(a)+cos(a) ・・・・(答え)
特にIIの∫の範囲(？)に∞が入ったものを経験したことがなく、手持ちの本にも例題がなくxにそのまま代入してよいのか分かりません。
よろしくお願いします。
