数III 微分の問題 添削お願いします
aは実数の定数とし、f(x)=x/{(e^x)+a}とする。
(1)
f(x)が極大値と極小値を1つずつ持つようなaの値の範囲を求めよ。ただし、必要ならば lim[x→-∞] xe^x=0を用いてよい。
(2)
(1)のときに、f(x)の極大値のとりうる値の範囲と、極小値のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)
f'(x)={(e^x)+a-xe^x}/{(e^x)+a}^2
{(e^x)+a}^2>0より、f(x)が極大値と極小値を1つずつもつためには、(e^x)+a-xe^x=0が異なる2つの実数解をもてばよい。すなわち、y=aとy=(xe^x)-e^xが2つの異なる共有点をもてばよい。
g(x)=(xe^x)-e^xとおくと、g'(x)=xe^x
(増減表省略)
lim[x→∞] xe^x=∞, lim[x→-∞] xe^x=0より、y=g(x)のグラフは以下のようになり、グラフより、y=aとy=g(x)が2つの異なる共有点をもつとき、-1<a<0である。
(2)
y=aとy=g(x)の2つの異なる共有点のx座標をα, β(α<β)とすると、
x<α, x>βのとき、f'(x)<0
α<x<βのとき、f'(x)>0
(増減表省略)
極大値はf(β), 極小値はf(α)となる。
ここで.α,βは (e^x)+a-xe^x=0をみたすから、
f(α)=α/{(e^α)+a}=1/(e^α)
f(β)=β/{(e^β)+a}=1/(e^β)
グラフから、-1<a<0のとき、α<0, 0<β<1だから、
1<f(α), 1/e<f(β)<1
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