微分してください

質問

写真の式を、対数微分法を「用いずに」微分するやり方を知りたいです。お願いします。

回答No.4

tmppassenger

念の為、もう一度書いておきます。

きちんと f(x), g(x)の具体的な形を求めて、f(g(x))が x^(x^2) と一致するか、確認してください。その上で、合成関数の微分法を適用しようとするとどうなるか、確認してください。

No.1 の方法だと、f(x) = exp(x) (= e^x), g(x) = (x^2) * log(x) とした時、
f(g(x)) = exp ( (x^2) * log(x)) = (exp(log(x))^(x^2) = x^(x^2)
となって、確かに元のyと一致するのでした。
この時 (d/dx) y = (d/dx) (f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x) で、
f'(x) = exp(x), g'(x) = 2x * log(x) + x となるのです。

あなたがやろうとしている方法で、f(x), g(x)が具体的にどうなるか、f(g(x))が本当にx^(x^2)になるか、確認してみてください。

回答No.3

tmppassenger

> まずx^(x^2)を、a^xというかたちにみてできる微分の式が、1/x^(x^2)

うーん、そもそもxの「(x^2)乗」であって、そもそも a^xの形（「x乗」）ではないですね... つまり

> 最後にa^xのxの部分がx^2となっているため

違います。a^b としたとき、aの部分が「x」、bの部分が「x^2」です。
x^(x^2) であって、 (x^2)^xではありません。

で、勘違いは修正した上で、その上で2つの関数 f(x), g(x)をどうおいたら、fとgの合成関数 f(g(x))が きちんと x^(x^2)になるか、ちゃんと f(x), g(x)の具体的な形を考えてみよう、ということです。

回答No.2

tmppassenger

> そのままの形で合成関数の微分をしても

というのをやって見た過程を、できるだけ丁寧に書いてもらえますか？
（事前に書いておくと、「どう」関数を合成したか、をきちんと考えてみてください）

補足

・まずx^(x^2)を、a^xというかたちにみてできる微分の式が、1/x^(x^2)
・次に、a^xのaがxという関数になっているから、それを合成関数と見てできる微分の式が、1
・最後にa^xのxの部分がx^2となっているため、合成関数と見てできる微分の式が、2x
→これを全てかけて{1/x^(x^2)}✳︎2xという答えが出ました。
(今考えて思ったのが、a^xのaは定数だからそこが関数となっても合成関数と考えられないということでしょうか、？)

回答No.1

tmppassenger

対数自体はつかいますが:

一般に a^b = exp(b * log(a))である故：（exp(x)はe^xの事）
※ log(a)の定義は exp(log(a)) = aである故、a^b = ((exp(log(a))^b = exp(b * log(a))

x^(x^2) = exp(x^2 * log(x))
従って、合成関数の微分法から、
(d/dx) x^(x^2) = (d/dx) exp(x^2 * log(x))
= exp(x^2 * log(x)) * { (d/dx) (x^2 * log(x)) }
= (x^(x^2)) * (2x * log(x) + x)

となる。
a^bを exp(b * log(a))と変形するのはよく使います。

補足

ありがとうございます！
その計算のやり方自体はわかったのですが、なぜ対数にする必要があるのですか？そのままの形で合成関数の微分をしても答えが合わないのはなぜなのでしょうか。