文字係数の連立方程式

質問

文字係数の場合分けがわからないので質問します。
連立方程式　ax+y=1・・・(1) x+ay=1・・・(2) 本の解説では、
(1)*a-(2)より(a^2-1)x=a-1 よってa≠±1,a=1,a=-1の３通りの場合分けをしていました。自分は等式の両辺に0でない数をかけたら同値変形できると思い。a≠0(このとき、(2)*a-(1)を計算。)、a=0で場合分けしてしまいました。a=0のときのx=1,y=1は間違いみたいです。どなたか自分の場合分けの間違いを教えてください。

回答No.2

tmppassenger

連立方程式を解いているので、「連立方程式としての同値変形」を考えなければいけない。

元々の「(1)(2)」という方程式の「組」に対し、(1)*a - (2)で(3)というものを考えると、-(3) + (1)*aから(2)を再び作れるので、「(1)(3)」という「組」は「(1)(2)」という組と同値で、（仮にa=0であっても）全く同値性は失われていない。
（この辺は、結局大学の線形代数で扱う行列の「基本変形」を行っていることに他ならない。）

勿論a≠0の場合、(2)*aと(2)は同値なので、結局「(1)(2)」の組と「(1), (2)*a」も同値。ところで、

> a≠0(このとき、(2)*a-(1)を計算。
とありますが、その後計算はどうなりましたか？一度ご自身の解答をすべて書いてください。

お礼

(1)*a - (2)で(3)というものを考えると、-(3) + (1)*aから(2)を再び作れるので、同値変形であるとは、新たな考えでした。
回答ありがとうございます。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

＞a=0のときのx=1,y=1は間違いみたいです。

その場合分けは、間違いではなく「不要な場合わけ」です。
模範解答はたぶん
a≠±1 のとき x = 1/(a+1) , y=1/(a+1)
となっていると思われますが、ここに a=0 を代入すれば
x=1 , y=1
が得られますので、a=0は特別扱いしなくてよいです。

a=0 のとき、両辺をa倍するという操作で同値性が失われるのは確かですが、今回の操作では「まずyをaで表す」だけですから、この段階では、必要条件にすぎない変形でも問題はありません。
「②×a -①」という式変形の途中過程に a=0 を入れてみると、その操作でyの値を求めることに問題はないことがよりわかりやすくなるかもしれません。

お礼

同値、必要条件、十分条件などをもう一度考えてみます。回答ありがとうございます。

補足

よろしければお返事ください。
「まずyをaで表す」だけですから、この段階では、必要条件にすぎない変形でも問題はありません。との解説がありました、必要十分条件を満たす変形をしないと、連立方程式の答えが出ないと思うのですが、この問題では、どこで十分条件を満たす変形をしているのか教えていただけませんか。お願いします。