連立方程式

質問

２つの連立方程式をもとめます
ax＋y=1
x＋ay=1

から
ax＋y=1　(1)
x＋ay=1　(2)
を式変形すると
a2x+ay=a　(3)
x＋ay=1　(2)
となります。
(2)-(3)より
-a＾2=1-a
よ考えたのですがよくわかりません

回答No.6

springside

単純に連立方程式を解くだけです。
「0で割る」ことがないように注意しましょう。

ax+y=1 (1)
x+ay=1 (2)

(1)より、y=1-axとなり、これを(2)に代入すると、
x+a(1-ax)=1
x+a-a^2x=1
(1-a^2)x+a-1=0
(a^2-1)x-(a-1)=0
(a-1){(a+1)x-1}=0 (3)

（ア）a=1のとき
(1)、(2)ともに、x+y=1となるので、解は、「x+y=1を満たす任意のx,y」である。

（イ）a≠1のとき
(3)の両辺をa-1≠0で割ると、
(a+1)x-1=0 (4)
となる。
ここで、a+1≠0、つまりa≠-1ならば、(4)を変形して、x=1/(a+1)となり、(1)より、y=1-ax=1/(a+1)である。
また、a+1=0ならば、(4)は-1=0となって矛盾、すなわち、解なし。

以上をまとめると、
a=1のとき、x+y=1を満たす任意のx,y
a=-1のとき、解なし
a≠±1のとき、x=y=1/(a+1)

回答No.5

mone0120

私もあまり自信は無いですが、

まずは一般的な解を求めてみましょう。
(2)より
　　ｘ＝１－ａｙ
これを(1)に代入すると
　　ａ(１－ａｙ)＋ｙ＝１
これを整理すると
　　ｙ(１－ａ＾２)＝１－ａ
　　　　　　　　ｙ＝(１－ａ)／(１－ａ＾２)
　　　　　　　　　＝(１－ａ)／(１－ａ)(１＋ａ)
　　　　　　　　　＝１／(１＋ａ)
となります。
ここで、ａ＝１の場合には
(1)(2)式が同一になりますので、
　　ｘ＋ｙ＝１
を満たす任意のｘｙ

また、ａ＝－１の場合は、
(1)(2)が矛盾するので解なし
と判断しました。

以上では、いかがでしょうか。

回答No.4

sunasearch

(2)からx=1-ayを(1)に代入すると、
y(1-a^2) = 1-aになり、
両辺を1-a^2で割るとｙが求まり、続いてxが求まります。

しかしここで割り算をするときには、０で割ってはいけないので、
1-a^2 = 0、つまりa = 1, または a = -1 となるときの解は別に求める必要があります。

回答No.3

nikusama

変形などせずに、式(１)(２)から１を消去してみましょう。あっという間に解決するでしょう。

回答No.2

edomin

ax+y=1
x+ay=1
から
ax+y=x+ay
ax+y-x-ay=0
x(a-1)-y(a-1)=0
(a-1)(x-y)=0
で、
a=1
x=y
よって、
x+y=x+x=1
x=1/2
y=1/2
a=1

じゃ、ないですか？

補足

答えは
aキ±1のときx=1/(a＋1),y=1/(a＋1)

a=1のときx＋y=1を満たす任意のx,y

a=-1のとき解なし

です。
これはどうやって出るのかわからないので教えてください

回答No.1

cronus0620

（２）の式をx=-ay+1にして、（１）の式に代入すれば
a(-ay+1)+y=1をといてyを求めた方が早いと思います。