黄金比

質問

Wikipediaの黄金比の説明によると美しい連分数を持つとあります。
質問の内容はこの黄金比と連分数を無理に結びつけていないかなのですが、順を追って説明します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94

なるほど綺麗だなと実際に計算してみると
どんな二次関数も似た構造になることが分かりました。。。

一応式の変形を掲げておきます。
x^2-4x+3=0 という二次方程式があったとして
x^2=4x-3 に変形でき、これを両辺 X で割るとx=4-3/x となります。
xの部分に4-3/xを代入していくと連分数になります。

黄金比はx^2-x-1=0の解ですがx^2-nx-n=0（n=1、2、3・・・）ならば
ｎの値にしたがって黄金比のところの連分数の値が1、2、3と変わっていくのが分かります。

つまりnが2以上の黄金比でなくても綺麗な形の連分数になるということです。
しかし、nが2以上の解が図形の比率で意味を持つというのを聞いたことがありません。

ゆえに無理に黄金比と連分数を結びつけて、神秘性をこじつけている気がしているのです。
それとも何か数学的に重要な意味があるのでしょうか？

回答No.4

gungnir7 · ベストアンサー

まあ、それはこじつけですね（笑）
連分数の導入の方法自体が違います。まあ、多分偶然です。
（それにしても、全ての二次方程式が連分数構造になるのは面白い発見ですね）

本来、解に対して、解が連分数の構造になっているものです。
ところが質問者は二次方程式を変形しています。
実は黄金比の連分数展開としてその事例は時折用いられます。
wikiにも掲載されているようなので、恐らくこちらをみて錯覚したのでしょう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

黄金比や白銀比は連分数のn＝1、2、3において次の数列の関係にあります。

An=A2+(1/An-1) A1=1、A2=k

ちょっと分かりにくいかもしれませんが、A2の値が1なら黄金比、2なら白銀比です。
A2の値が3だと赤銅比とかいう名前がついているようですが詳細は知りません。
このAnの極限値を求めると黄金比が導かれているというものです。

図形としての比に意義を見出すのならA2=1、2、3までではないでしょうか？
実際に計算してみると分かりますが、Anの値はどんどん大きくなっていくので比に適さなくなります。
まあ、自然界のあっと驚く何かが隠されているかもは否定しません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
２次式の変形ではなく解の方なのですか！
いましがた確認してみたところ、そのようでした・・・

ご呈示いただいた数列がフィボナッチに該当するかどうかはまだ確認していません。
とはいえ、これが事実ならば連分数に大きな意義が見いだせます。
取り敢えずお礼まで。

補足

やはり２次方程式を変形したのは私の勘違いのようでした。
連分数が回答で頂いた数列の形になっていることも非常に驚きました。
たしかに実際の値を採ってみるとそのようになります。

なんとなくですが、その数列が量子力学で重要な意味を持っているかもしれません。
というのも自然界のフィボナッチ現象が量子力学の確率と何らかの関連性があると思っているからです。

今回の黄金比の研究はそんな大それたことを考えたわけではありませんが、
何かしらあるのかなあと追究したのが始まりでした。

回答No.3

tsukita

回答者No2です。

黄金比…連分数…フラクタル
との関連において、黄金比と連分数の結びつきが“こじつけ”でない理由を以下のホームページで感じることができるかもしれません。

http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/museum/golden/page62.html

フラクタルというようりは、“自己相似性”ということばがしっくりきますね☆

お礼

ご回答ありがとうございます。
そうなんですよね。フィボナッチ係数だと実に素晴らしく綺麗に結びつくんです。
だから何かあるはずだと思ってしまうんです。

しかし、連分数の値が任意に如何ようにでも採れるとわかると、
無数に組み合わせが存在するわけで、急に意義が見えなくなってしまうんです。

x^2-nx-n=0（n=1、2、3・・・）でn=1は黄金比ですが
n=2 以上で意味があればこの系列だけは特別と割り切ることができるんですが。
私の想像力では限界に達しているようなので愛好家の方に聞いてみました。

回答No.2

tsukita

はじめまして。

連分数について精通しているわけではありませんので、
読み飛ばしていただいても構いません。

まず、連分数は「無限」の操作の繰り返しという観点で興味深いのだと思います。例えば、連分数で表すことができる数の全体集合はどうなるか？などはちょっと気になったりします。

二次式から連分数を構成しているわけですが、これは連分数の一面を捉えることしかできていないため、あまり意味がないものに思えます。

>ゆえに無理に黄金比と連分数を結びつけて、神秘性をこじつけている気がしているのです。
わかるような気もしますが、でも、黄金比が“最も単純な連分数”で表現されることは驚きです。黄金比は自然界に存在しますから、ある意味で自然界が単純であることや、フラクタル（同じ形の繰り返しという意味で…）と自然界との関係があるような気がして、私は少しは神秘的なものを感じます。

回答No.1

kata_san

>神秘性・・・
こじつけではないということは、そのページを読めば理解できると思います。
歴史的に好んで使用してきたという事実があって、その比を数学的に検証するとその様な式になるということではないでしょうか？
実際に用いられているものの多くに「黄金比」が使用されている。
という事実を質問者はどのように説明しますか？

A4やA3などの用紙の大きさはこの「黄金比」に良く似ている「白銀比」が使用されています。
用紙サイズ
Ａ列：13,18,26,37,52,74,105,148,210,297,420,594,841,1189
Ｂ列：16,22,32,45,64,91,128,182,257,364,515,728,1030,1456
隣り合った数値が用紙の縦・横の寸法になるようになっています。
こういったものもどのように説明するのでしょうか？

補足

さっそくのご回答ありがとうございます。
黄金比や白銀比はよく知っています。それに対する連分数も以前から知っていました。
勿論、黄金比や白銀比が図形的に意味のあることもしっています。

それで今週黄金比と連分数の関連性について本格的に考えてみました。
ところが連分数において数学的意義が見いだせないのです。
特に全ての２次関数は連分数に変形できることが分かったとき、
これは何だろう？と非常に懐疑的な気分になりました。

黄金比は１が並んで綺麗になりました。
しかし、それが偶然ではないかということです。
質問で挙げたようにnが2でも3でも、その解が図形的な意味を持てば納得できるのですが・・・

私の想像力では限界に達したため、ここで聞いています。
なにかしら驚くものが隠されているような感じもしております。