大学 合成関数の微分

質問

写真の問題がわからないです。どれか一問でも分かる方いたら解答していただけると助かります。

回答No.3

gamma1854 · ベストアンサー

整理して書きます。
u=u(X, Y) とすると、uXX + uYY=0 が仮定。
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v=u(X, Y), X=s/(s^2+t^2), Y=t/(s^2+t^2) とすると、
vss+vtt
=uXX*{(Xs)^2+(Xt)^2} + uXY*{2XsYs + 2XtYt} + uYY*{(Ys)^2+(Yt)^2} + uX*{Xss+Xtt} + uY*{Yss+Ytt}
={1/(s^2+t^2)^2}*{uXX + uYY} = 0.
∵ (Xs)^2+(Xt)^2 = (Ys)^2+(Yt)^2 = 1/(s^2+t^2)^2,
Xs*Ys + Xt*Yt =0, Xss+Xtt=0, Yss+Ytt=0.

回答No.2

gamma1854

「連鎖律」に従い微分してください。
u=u(X, Y), X=X(s, t), Y=Y(s, t) であるとき、
∂u/∂s = (∂u/∂X)(∂X/∂s) + (∂u/∂Y)(∂Y/∂s), ですから、
∂^2u/∂s^2 = (∂/∂s){(∂u/∂X)(∂X/∂s)} + (∂/∂s){(∂u/∂Y)(∂Y/∂s)}...(*)
----------------------------
このように正確にかくと見にくいので以下は、∂u/∂X を uX, ∂X/∂s = Xs などと略記します。
((*)の右辺第一項) = (∂/∂s){uX} * Xs + (uX) * (∂/∂s){Xs}
= {uXX * Xs + uXY * Ys} * Xs + uX * Xss
同様に
((*)の右辺第二項) = (∂/∂s){uY} * Ys + uY * Yss
= {uYX * Xs + uYY * Ys} * Ys + uY * Yss.
よって、
∂^2u/∂s^2 = uXX * (Xs)^2 + uXY * 2Xs*Ys + uYY * (Ys)^2 + uX * Xss + uY * Yss.
同様に、
∂^2u/∂t^2 = uXX * (Xt)^2 + uXY * 2Xt*Yt + uYY * (Yt)^2 + uX * Xtt + uY * Ytt.
よってこれらの和は、
uss + utt = uXX *{(Xs)^2+(Xt)^2} + uXY * {2XsYs +2XtYt} + uYY *{(Ys)^2(Yt)^2} + uX*(Xss+Xtt) + uY*(Yss+Ytt).
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※タイプミスがあればなおしてください。

補足

長文ありがとうございます。最後に質問なんですが今回の問題に対応する部分のuX*(Xss+Xtt) + uY*(Yss+Ytt)が0になるのはuが調和関数だからですか？

回答No.1

gamma1854

(問１について）
x = (x1, x2), (d=2) とする。
u = u(x1, x2) とすると仮定より、
∂^2u/∂x1^2 + ∂^2u/∂x2^2 = 0 ....(*)
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v(x) = u(X, Y), X = x1/|x|^2, Y = x2/|x|^2 とすると、
∂^2u/∂x1^2 = (∂^2u/∂X^2)(∂X/∂x1)^2 + (∂^2u/(∂X∂Y))*2(∂X/∂x1)(∂Y/∂x1) + (∂^2u/∂Y^2)(∂Y/∂x1)^2,
∂^2u/∂x2^2 = (∂^2u/∂X^2)(∂X/∂x2)^2 + (∂^2u/(∂X∂Y))*2(∂X/∂x2)(∂Y/∂x2) + (∂^2u/∂Y^2)(∂Y/∂x2)^2.
これらを加えて０ですから、
∂^2u/∂X^2 + ∂^2u/∂Y^2 = 0. (∵ **)
となることが示されます。
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(**)
(∂X/∂x1)^2 + (∂X/∂x2)^2 = (∂Y/∂x1)^2 + (∂Y/∂x2)^2, (∂X/∂x1)(∂Y/∂x1) + (∂X/∂x2)(∂Y/∂x2) = 0,
-------------------------
※計算ミス等があるかもしれません。

補足

∂^2u/∂x1^2 = (∂^2u/∂X^2)(∂X/∂x1)^2 + (∂^2u/(∂X∂Y))*2(∂X/∂x1)(∂Y/∂x1) + (∂^2u/∂Y^2)(∂Y/∂x1)^2,
上の部分の式がなぜこうなるか分からないのですが詳しく教えてもらえますか？理解力がなくてすみません。