合成関数の微分

質問

こんにちは。今、合成関数の問題を解いているのですが式に階乗が出てきて解き方が分かりません。
問題は、√7x!4x x2乗　と言う問題です。解き方が分かる方はご回答お願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>式は√7x!*4x+x^2で全部√の中に入っています。
√{28*(x!)*x+(x^2)}
という事でいいですか？

{28*(x!)*x+(x^2)}^(1/2)
と同じですから

[{28*(x!)*x+(x^2)}^(1/2)]'
=(1/2)*[{28*(x!)*x+(x^2)}^(-1/2)]*{7*(x!)*4*x+(x^2)}'
=(1/2)*[{7*(x!)*4*x+(x^2)}^(-1/2)]*[2*x+28*x+(x!)*{28+ψ[0](x+1)}]
=[x+14*x+(x!)*{14+(1/2)ψ[0](x+1)}]/√{7*(x!)*4*x+(x^2)}

ここで
{28*(x!)*x+(x^2)}'=28*{(x!)'*x+(x!)}+2*x
=2*x+28*(x!)+28*x+(x!)'
=2*x+28*x+(x!)*{28+ψ[0](x+1)}

この中の(x!)'は xが実数変数なら普通の階乗ではありませんね。
(x!)'=(x!)*ψ[0](x+1)
となります。

なお、
ψ[0](x)はディガンマ関数と呼ばれる特殊関数で初等関数ではありません。（大学の数学レベル）
http://ibisforest.org/index.php?%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0
ψ[0](x)=(∂/∂x)ln{Γ(x)}=Γ'(x)/Γ(x)
で定義されます。
また、Γ関数（ガンマ関数）の定義は
http://ibisforest.org/index.php?%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0
にある特殊関数で初等関数ではありません。

お礼

分かりました。ありがとうございます。

回答No.2

piro19820122

階乗は離散的関数なので微分できないのでは？
それとも階乗記号を使っているが、実はガンマ関数とかそういうことなのでしょうか？

問題の設定をもう少し詳しく書かれた方が良いかと思います。

回答No.1

info22

その書き方では式の構造がさっぱり分かりません。
√の中がどこまでなのか？
「x!」と「4x」と「x^2」の関係がどうなっているのか？
ちんぷん、かんぷんです。

括弧を多重に使い、掛け算は電卓と同じ「*」の記号を使い、
べき乗は「^」を使って
xの二乗なら「x^2」
yの(4x)乗なら「y^(4x)」
x!の(4x)乗なら「(x!)^(4x)」
などと補足に書き直して下さい。

補足

すいません。
式は√7x!*4x+x^2で全部√の中に入っています。