頂角が０に近づいていくときの正多角形の面積について
別の質問から派生した疑問なのですが、改めて質問させていただきます。正多角形をいわゆる一筆書き（仮に右回りとします）。正多角形の頂角がπに近くづいていくと円になることは理解できますが、逆に頂角が０に近づいて行くとき正三角形を過ぎていわゆる星型になってきますが、頂角が０に近づいた極限の正多角形の面積は０になるのでしょうか、あるいはπになるのでしょうか。星型の面積は紙に書いて切り抜いた時の図形とした場合を想像しています。頂角が小さくなると、一筆書きで真っ黒になってしますので、頂角がπになる時の円とちがって面積のイメージが得られないでいます。よろしくお願い申し上げます。
補足
画像のように折ればそれぞれの正多角形ができますが、その証明を知りたいのです。 正三角形と正八角形はなんとか自分で理解できましたが、正六角形の証明がわかりません。