正多面体の理論

質問

正多面体を調べるには、どのような理論や計算が必要でしょうか？特に、頂点の数や表面の平面の数や辺の数などはどのように計算したらよいでしょうか？

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

No.2さんの参考URLで普通なら問題ないんですが．
厳密にはいくつかまずい点はあることはあります．

(1)オイラーの公式をどうやって証明するか？
(2)オイラーの公式の適用範囲は？
(2)多面体の定義とは何か？

そもそもオイラーの公式
(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=2
が成り立たない空間図形なんて山ほどあります．
例えば，正四面体を二個用意して
片方の頂点の一個にもう一個の方の頂点を一個
くっつけると
頂点の数 4+4-1 = 7
辺の数 6+6 =12
面の数 4+4 = 8
で 7-12+8=3 です．
他にも「浮き輪」（トーラス）なんかでも
成立しません．
したがって，どういう空間図形に対して
（よく知られた）オイラーの公式が成立するのか
また，多面体の定義をしたとして
それがオイラーの公式が成立するものなのかという
議論は必要になります．

ここら辺の議論をまじめにやるなら
・位相幾何学（特にホモロジー論）
がメインになります．
オイラーの公式（とその一般化）は
ホモロジー論で示せます．

お礼

皆様、ありがとうございます.
私なりにかなり理解できたと思います.
本当はつっこんでとことん理解した方がいいと思いますが
ちょっときついのでNo2様の内容まではきちんと理解したいと思います.とことん理解しようと思ったら3様の指摘にも触れたいと思います

回答No.2

pascal3141

次のホームページ参照

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/pascal/stool16.html

回答No.1

kaeyui

頂点の数は、正多面体の１つの面にある頂点の数をaとすると、a×（面の数）÷（１つの頂点に集まる面の数）です。
辺の数は、正多角形の１つの面にある辺をbとすると、b×（面の数）÷２です。
面の数は…
正ｎ角形ならばｎ個なのは当然ですよね？

ただ、このようなことを理論で考えることは良い事ではあると思いますが、正多面体は５種類しか存在しないので全て覚えてしまったほうが良いと思います！