中心極限定理 一様分布 平均値の意味

質問

統計学からの疑問です。
以前も中心極限定理について質問したことがあったのですが、また疑問が発生しました。

中心極限定理は、母集団が何分布であれ、そこからサンプリングされた標本の平均値は正規分布に従って分布するということで、この定理があるからこそ色んな統計手法を使うことができますよね。

例えば、プレス機の設定荷重を５．０トンに設定し、実荷重を複数回測定するとします。
この場合、実荷重は、４．９トンとか５．１トンとか、誤差的にばらつきますよね。
なので複数回測定した実荷重の平均値＝プレス機の実力であると言えると思います。

では母集団が一様分布、例えばサイコロの場合、
サイコロを２個以上振って出た目の平均値は３．５ですが、この値は一体何を意味してるのでしょうか？サイコロは３．５の目がもっともよく出るというわけはありませんし・・・

中心極限定理を解説するために、サイコロを使った説明があり、
母集団が一様分布であっても中心極限定理がちゃんと現れることは確認できたのですが、
母集団が一様分布の場合の統計量（平均値）の意味がわかりません。

変な質問かもしれませんが、疑問を解決したいのでどなたか教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

中心極限定理の母集団は、どんな分布でもよい訳ではなく、
母分布の平均と分散は収束する必要があるけど？

質問の本題のほうは、
サイコロの目の平均も「サイコロの実力」でいいのでは？
「プレス機の実力」も「実力」ってのが何なのか解からない
ことは同じだが、そういう言葉で「平均」のありかたが
なんとなく納得できる。「サイコロの実力」も同様だと思う。

「平均」の正しい意味は、式による定義以外にはない訳で、
それ以外の説明は、所詮、なんとなく納得しやすく感じる
ための例え話に過ぎないのだから。

各自が自分のカードデッキから一枚引いて、書いてある数の
大きさを競うというゲームをしていたとする。
カードに書いてある数の平均が、各デッキの実力なんだろうし、
そのゲームにサイコロで参戦すれば、3.5 がサイコロの実力
と言えるだろう。なんかそんな感じ。

もっともよく出る目は、平均値じゃなくて「最頻値」だよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
平均の3.5はたしかにサイコロを複数投げたときのもっとも多い組み合わせであり、サイコロの実力ですね。3.5がもっとも出やすいサイコロの目ではないですね。
理解できた気がします。

ちなみに母分布の平均と分散が収束する必要があるとはどういう意味ですか？
確認する方法はありますか？

中心極限定理がつかえない母分布があることも知っていましたが、
このあたりの解説を見たことがありません。
おそらく難しいからだと思いますが、簡単に解説していただけないでしょうか？

回答No.2

alice_44

中心極限定理の内容は、↓こんな感じ。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/tyuusinkyokugennteiri.html
母分布の確率密度関数 f(x) に対して
積分 ∫x f(x) dx や ∫(x^2) f(x) dx が収束しないようだと、
そもそも定理が適用できない。

お礼

ご回答いただき、ありがとうございます。
簡単に説明してくださいとお願いしましたが、自分には理解できませんでした。
情けない限りです。