群数列について。

質問

次のような群数列を考える。1、 1／2、 1／2、 1／4、 1／4、 1／4、 1／4、、、、
この時第1000項までの和を求めよ。
この問題をご教授願いたいです。すみません。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

前の質問と同じように，もう少し数列が書いてあると法則がわかるのですが，たぶん次の様ではないかと推測します。
1,1/2,1/2,1/4,1/4,1/4,1/4,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/16,……
これを区切って
|1|1/2,1/2|1/4,1/4,1/4,1/4|1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8|1/16,……
と群数列を考えます。
第n群の項は全て1/2^(n-1)で，項数は2^(n-1)個です。
だから，各群の項の和は全て１です。
ここで「各群に属する項の個数からなる数列」を考えると
1,2,4,……
のように，初項が1で公比が2の等比数列になります。
この数列の第n項までの和（=元の数列の第n群までの総項数）は
2^n-1
となります。
ここで不等式
2^n-1≦1000　……（１）
を満たす最大の自然数を求めます。
2^n-1はnが大きくなるとともに単調に増加します。そして，
n=9のとき，2^n-1=511
n=10のとき，2^n-1=1023
ですから（１）を満たす最大の自然数は
n=9
となり，第9群までの項数は511です。（第1000項まで残り489項）
第1000項は第10群の第489項です。

したがって第1000項までの和は
1+1+……+1+1/2^9+1/2^9+……+1/2^9
(９個）　　　（489個）
=9+489/2^9
=262633/512