数学の群数列についての質問です。

質問

数Bの群数列の質問です。

２￤５、８￤１１、１４、17、￤２３、２６・・・・・４４￤４７、５０・・・・

初項２、交差３の等差数列を、次のように第n項に２＾n-1個の項が含まれるように群に分ける。

問 ２００は第何群の第何項目か。

まず、２、５、８・・・・ときてるので
この数は３nー１と表すことができます。

3n-1=200
n=67

になります。

２００は第67項である。

２＾(7-1)-1<67<2^(8-1)-1

となっているのですが、この２＾(7-1)-1

というのはどのように求めた式でしょうか。

回答お願いいたします。

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

第1群には項が1つ
第2群には項が2つ
第3群には項が4つ
・・・
第k-1群には項が2^(k-2)個
第k群には項が2^(k-1)個

あります。

第67項が第k群にあるとすると、
第1～第k-1群の項数を全部足したもの
1+2+(2^2)+(2^3)+・・・+2^(k-2)
よりも67は大きな数であって、しかも
第1～第k群の項数を全部足したもの
1+2+(2^2)+(2^3)+・・・+2^(k-1)
よりも67は大きくないことになります。

つまり、
1+2+(2^2)+(2^3)+・・・+2^(k-2)<67≦1+2+(2^2)+(2^3)+・・・+2^(k-1)
です。

この不等式の左端と右端は等比数列の和になっていて、
1+2+(2^2)+(2^3)+・・・+2^(k-2)={2^(k-1)}-1
1+2+(2^2)+(2^3)+・・・+2^(k-1)=(2^k)-1
ですから、

上の不等式は
{2^(k-1)}-1<67≦(2^k)-1
と同じです。

こういうkを探せばいいということになります。