二次方程式の解と係数の関係の応用

質問

x^2+ax+b=0
の2解をα、βとしたとき、
α^2＋β^2
α^3＋β^3
・・・
はa、bで簡単にあらわせますが、冪情の部分が分数になった
α^(1/2）＋β^(1/2)
α^(1/3) ＋β^(1/3)
・・・・
は、指数が 1/n　の時はn次方程式を解かないといけないから簡単ではないんでしょうか？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

α=-1
β=-1
の時
α^(1/2)β^(1/2)=(-1)^(1/2)(-1)^(1/2)=i^2=-1≠1={(-1)(-1)}^(1/2)=(αβ)^(1/2)
だから
α^(1/2)β^(1/2)≠(αβ)^(1/2)
のように
α,βが負数や虚数の場合
指数法則が成り立たないので
α^(1/2),β^(1/2),α^(1/3),β^(1/3),…等を
を定義できません

x^2+ax+b=0
の2解をα,βとしたとき
α+β=-a
αβ=b

{α^(1/2)+β^(1/2)}^2=α+β+2α^(1/2)β^(1/2)

α^(1/2)β^(1/2)=(αβ)^(1/2)が成り立つ時に限り

{α^(1/2)+β^(1/2)}^2=α+β+2(αβ)^(1/2)=-a+2b^(1/2)

α^(1/2)+β^(1/2)={-a+2b^(1/2)}^(1/2)