the project finished in time を 1 つの言葉にして We got に繋いだものです。
分解すれば……
We got the project (which had been) finished in time.
となります。……project と finished の間に「,」を入れたいところだけど、入れなくても間違いではないでしょう。
I had my hair cut (髪の毛を切ったよ) という言い方がありますが、口語では have よりも get を使って意思を持って行ったというような強めの表現法もありますので、We finished the project in time と言うよりも「間に合ったぁ(^_^)/」という晴れ晴れとした気持ちを込めて We got the project finished in time と言ったのでしょうね。
get には I got the payment を I got paid とか、I got knock-down を I got knocked down というように「get + 名詞」ではなく、名詞部分ももっと強く意識した「Get + 過去分詞」の形で用いる事もあります。
素敵な英会話を(^_^)/
お礼
ありがとうございました。