チェビシェフ多項式について。

質問

チェビシェフ多項式のsinの方の証明をしていただけないでしょうか？高校数学の美しい物語という本からです。教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.6

f272

期待と違う反応で本当にがっかりです。
自然数に関する命題 P(n) が全ての自然数 n に対して成り立っている事を証明するための第2段階は「任意の自然数 k に対して「P(k) ⇒ P(k + 1)」が成り立つ事を示す」ことです。
と書いたことは無視ですか？
「sinn θが、sin θとcosθの、nー1次多項式の積で表せることを示せればいいですね」というのは上記の記法で言えばP(n)を言っているの過ぎません。もちろん最終的な目的はそれですが，帰納法でと言っている文脈を無視してこんなことを言うなんて...
その上，書いた文章の途中の変なところに「、」があって非常に誤解しやすい書き方になっている。私は以前に「sin3θ を「sinθ」と「cosθ の 2次多項式」の積で表せ。」と書きました。これをコピペして少し書き直せばOKなのになぜわざわざ独自色を付けたいのでしょう？
それから「sin θとcosθ1回ずつで表せればよいということでしょうか」はどういう意味ですか？その前に言ったこととは違ってますよ。

まずは
「任意の自然数 k に対して「P(k) ⇒ P(k + 1)」が成り立つ事を示す」
これをこの問題に即して言い換えてください。

補足

sin (k＋1)θと仮定して、sin (k＋2)θを証明する。ということでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。やっぱり違いますよね。

回答No.5

f272

#3です。

#3の補足に対してもいくつか書き直して欲しい点があるが，それは省略。
とりあえず帰納法の第1段階はできたと認識でかまわないな。
自然数に関する命題 P(n) が全ての自然数 n に対して成り立っている事を証明するための第2段階は「任意の自然数 k に対して「P(k) ⇒ P(k + 1)」が成り立つ事を示す」ことです。この問題の場合にはどういうことをいえばいいのかちゃんと書けますか？
要するに問題を理解しているかということだけど。

補足

sinn θが、sin θとcosθの、nー1次多項式の積で表せることを示せればいいですね。つまり、sin θとcosθ1回ずつで表せればよいということでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.4

musume12

> 「sin (n ＋1)＝sin n θcosθ＋cosnθsin θ」って何ですか？
> こんな式は成り立ちません。式を書くのならちゃんと書いてください。
> もう一度やり直し。

と注意されているのに

> ３つ目は、sin θ(4cos∧2ー1)

　何かね？ これは（笑）

回答No.3

f272

「sin (n ＋1)＝sin n θcosθ＋cosnθsin θ」って何ですか？こんな式は成り立ちません。式を書くのならちゃんと書いてください。もう一度やり直し。
「...に、nー1を代入して」何にn-1を代入したのですか？まさか式全体に代入しようとしたわけではないでしょう。まともな日本語で誰にでもわかるように書いてください。もう一度やり直し。
「そこで、行き詰まりました。」代入した結果どうなったのですか？「代入して」と書いている以上は代入自体はできたのですよね。それとも，それもいい加減な話なのですか？

まずは，この３つはできますか？
sinθ を「sinθ」と「cosθ の 0次多項式」の積で表せ。
sin2θ を「sinθ」と「cosθ の 1次多項式」の積で表せ。
sin3θ を「sinθ」と「cosθ の 2次多項式」の積で表せ。

補足

すみません。sin (n＋1)θ＝sin nθcosθ＋cosnθsin θこれに、すみません。式全体に代入してしまいました。sin nθ＝sin (nー1)θcosθ＋cos(nー1)sin θで、行き詰まりました。
まず１つ目は、上から、sin θです。２つ目は、2sin θcosθです。３つ目は、sin θ(4cos∧2ー1)
です。教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.2

f272

「帰納法で証明していただけないでしょうか？」というのであれば，あなたがどこまでできたのかを見せるのが礼儀でしょう。まさか何もやっていないわけではないでしょうから。

補足

sin (n ＋1)＝sin n θcosθ＋cosnθsin θに、nー1を代入して、そこで、行き詰まりました。早くも。すみません。教えていただけないでしょうか？

回答No.1

f272

「チェビシェフ多項式のsinの方」ってどんな式ですか？ちゃんと書いてください。質問くらいはまともに書いてください。
「証明をしていただけないでしょうか？」その本にしっかり書いてあるでしょう。本を読んだのなら，そのうちのわからないところだけを質問するようにしてください。

補足

sinnθは、sin θとcosθのnー1次多項式で表せる。というものです。同様にと書かれているだけで、証明は割愛されています。帰納法で証明していただけないでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。