線形空間

質問

広義線形空間分解の問題です。
VをC係数の二次以下の多項式全体のなすＣ上のベクトル空間とする。
Ｖの元f(X)に対して、
φ(f(X))=X^2*f"(X)-f'(X)+f(X)
とおく。
f"は二階微分,f'は一階微分
このとき、Ｖのｆに関する広義固有空間分解を求める問題です。

考えたのですが、糸口からしてわかりません。
解答の道筋を教えてください。

回答No.1

alkantala

V は二次多項式 f(x) = ax^2 + b x + c にベクトル (a,b,c) を
対応させることにより、
複素三次元の数ベクトル空間と同一視できます。

この対応を通してみれば、φ(f(x)) は
φ(ax^2 + b x + c) = 2(2a) - (2ax+b) + (ax^2+bx+c)
= ax^2 + (-2a+b)x + (4a-b)
ですから、これは数ベクトル空間の線形写像
(a,b,c) → (a, -2a+b, 4a-b)
と同じことです。

あとはこの数ベクトル空間の線形写像を
標準基底でも使って行列表現して、
行列の固有値を求めて、
各固有値の固有空間を決定すればいいと思います。