マクローリン展開

質問

マクローリン展開する際に、n階導関数までを示すものと2n階導関数または2n+1階導関数までを示すものがありますがそれぞれの用い方が分かりません。
何かそれぞれを選択する際、決まりのようなものでもあるのでしょうか？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

>何かそれぞれを選択する際、決まりのようなものでもあるのでしょうか？
展開する関数f(x)のタイプにより変わります。
展開するf(x)のタイプが、偶関数、奇関数、どちらでもない、によって選択すれば良いでしょう。

□偶関数の場合
マクローリン展開には
x^(2n) (n:非負整数）の項
しか現れませんから、
展開係数も2n階導関数　f^(2n)(0)だけが必要ので
2n階導関数f^(2n)(0)まで示せばいいということです。
この場合は、f^(2n+1)(0)=0(n:非負整数）です。

□奇関数の場合
マクローリン展開には
x^(2n+1) (n:非負整数）の項
しか現れませんから、
展開係数も(2n+1)階導関数　f^(2n+1)(0)だけが必要ので
(2n+1)階導関数f^(2n+1)(0)まで示せばいいということです。
この場合は、f^(2n)(0)=0(n:非負整数）です。

□偶関数でも奇関数でもない場合
一般的に　x^n (n:非負整数）の全ての項
が現われますから、
展開係数も　n階導関数　f^(n)(0)の全てが必要ので
n階導関数f^(n)(0)の全ての項を示す必要があるということです。

お礼

ありがとうございました。
解決しました。

回答No.5

arrysthmia

＞ マクローリン展開する際に、n 階導関数までを示すものと
＞ 2n 階導関数または 2n+1 階導関数までを示すものがありますが

嘘です。
マクローりン展開は、無限級数展開ですから、有限項まででは終わりません。
式の読み方を、どこか間違っているのでしょう。

一般項を示すのに、第 n 項を書いて済ませている場合と、
第 2n 項または第 2n+1 項を書いて済ませている場合がある
という話なら、それは、どちらも単なる略記です。
級数の末尾が「…」で略してあったりする、アレでしょう？
その書き方は、遇関数と奇関数で書き方(の習慣)が違ったりしますね。

正しく表記するには、一般項を明示しなくてはなりません。
「…」ではなく、「Σ」などを使って書くことになるでしょう。

補足

質問の書き方が悪かったですね。
すいませんでした。

回答No.3

Tacosan

どういう場合のことを指しているのでしょうか?
例があれば挙げてもらえると説明しやすいです.

補足

三角関数についてや、log～についてです。
質問がずぼらになっていてすいませんでした。

回答No.2

owata-www

決まりというか例えば
sinx=x^1/1!-x^3/3!+x^5/5!…=Σ[n=0→∞]x^(2n+1)/(2n+1)!
だからnが偶数の項は0になり

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!…=Σ[n=0→∞]x^2n/2n!
だからnが奇数の時の項は0になる

ので、いちいちnが偶数とか奇数とか場合分けを書くのが面倒だから2n+1階までと、2n階までに分けて書いているだけです

お礼

理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

R_Earl

> 2n階導関数または2n+1階導関数までを示すもの

cosやsinのようなもののことですか？

> 何かそれぞれを選択する際、決まりのようなものでもあるのでしょうか？

「2n」や「2n+1」が表しているのは、
「偶数」と「奇数」です。
なので「2n階導関数」や「2n+1階導関数」は、
「偶数階導関数」と「奇数階導関数」を意味しています。

sinの場合、2n+1階導関数を用います。
sinをマクローリン展開をする際、sinを微分したものにx = 0を代入していきますよね？
sinを奇数回微分したものにx = 0を代入すると1, -1になって残り、
偶数回微分したものにx = 0を代入すると0になって消えます。
だから『残る』奇数回微分の項だけを書くんです。

2n階導関数を示しているものは逆に、
・奇数階導関数がx = 0の時、消える
・偶数階動関数がx = 0の時、残る
となります。
だから偶数階導関数(2n階導関数)だけを示すんです。

実際にsinやcosを地道にマクローリン展開していけば
納得できるかもしれません。

お礼

分かりやすいありがとうございました。