sinｘ＋cosx＝√（１+２sinｘcosｘ）

質問

からどんなことが言えるのでしょうか。友人に言われたのですが全く分かりません。考えるヒントをいただければと思います。ピタゴラスの定理に関係があるらしいのですが、よろしくお願いいたします。

回答No.17

noname#242965

sinｘ+cosｘ=√２ sin(ｘ＋π/４)なので、右辺の
グラフを考える。３π/４≧ｘ≧―π/４である。

お礼

できる限り勉強します！

回答No.16

staratras

sinｘ＋cosx＝√（１+２sinｘcosｘ）…（１）

これまでの回答にありますように、（１）は常に成り立つわけではありません。xに条件が付きます。ここでは視点を変えて、（１）が成り立つ場合に、その作図的(グラフ的）な意味はどうなるか単位円(半径1の円）で考えてみました。

（１）の左辺の作図は簡単です。単位円上の点P(cosx,sinx)のx座標とy座標の和だからです。この点をTとします。（下の図の円の右側）

右辺については、２倍角の公式から２sinｘcosｘ=sin ２ｘ　なのでまず、点Q（cos2x,sin2x)をとり、sin2xの値をy軸上にとります。
次にこれから１を加えた点Rをy軸上にとります。このRとy軸上の点(0,-1)を直径の両端とする円（下図の点線）を描き、x軸との交点をSとすると、OSが√（１+２sinｘcosｘ）＝√（１+sin２ｘ）の値を示しています。（下の図の円の左側、なおこれは長さ1の線分が与えられたとき任意の数の平方根を作図する方法です）

（１）が成り立つということはOS=OT、つまりSとTは原点Oを中心とする円(赤い波線）の直径の両端です。

なお、平方根の作図ができる説明が下の図の右端です。1の線分とaの線分の和を斜辺とするような直角三角形を作ります。（1+a)を直径とする円を描き1とaのつなぎ目に直交する直線との交点を求めればできます。
三平方の定理から(x^2+a^2)+(x^2+1)=(a+1)^2 となり、これを簡単にすればx^2=a　つまりx=√a　となります。

お礼

すぐには理解できませんが、時間をかけてご教示の図の理解に取り組みたいと思います。

回答No.15

178-tall

>私には難しくなってきました。円だけでなく楕円のようなものにも関係してくるのでしょうか。

楕円ではなく、円でのハナシです。
　sin^2(x) + cos^2(x) = 1
なる「ピタゴラス」の変形。

… お粗末でした。

お礼

そうでしたか。少し安心しました。

回答No.14

178-tall

蛇足^2

最簡形
　| sin(x) | = √[1-cos^2(x)]

合成形 a*sinx + b*cosx = r*sin(x-h)
　| r*sin(x-h) | = r √[1-cos^2(x-h)]

… etc.

お礼

私には難しくなってきました。円だけでなく楕円のようなものにも関係してくるのでしょうか。

回答No.13

178-tall

蛇足。

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 が「ピタゴラスの定理」。

お礼

これは知っておりました。両辺に２ｓinxcosxを足したものだったのですね。

回答No.12

noname#242965

ピタゴラスの定理に関係してると言われると、
”はてな？”と回答に困ってくる。
貴方の質問はいつもこんな感じです。
回答者の虚を突いてくる。
総じて良い質問が多い。

sinｘ、cosxが直角三角形。つまりはピタゴラスの定理。
当たり前の話だ。

お礼

三角関数が初めから直角三角形と関係があったのですね。

回答No.11

178-tall

道草が過ぎました。

「数学の問題」に戻って、
　|sinx+cosx| = √(1+2sinxcosx)
とすれば「等式」。

∵
(sinx+cosx)^2 = sin^2(x) + cos^2(x) + 2sinxcosx
　　= 1 + 2sinxcosx

お礼

絶対値というのは重要な概念なのですね。

回答No.10

178-tall

ANo.9
.>そうなのですか。

　　↓　参照 URL

交流電流を全波整流した脈流

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%84%88%E6%B5%81

お礼

身の丈で勉強したいと思います。

回答No.9

178-tall

>sinｘ＋cosx＝√（１+２sinｘcosｘ）

「数学の問題」と見るから迷うのかナ？
　　等式か？ 方程式か？ などと、ウロウロしてしまう。

「電気工学の問題」と見れば、
　　左辺の交流を全波整流すると、右辺の脈流。

お礼

そうなのですか。勉強したいと思います！

回答No.8

BASKETMM

横からコメントします。
fjnobuさんのお答え:両辺二乗でよいのですが、√記号は「±」の「＋」の方という約束があります。従って、この式が成り立つのは、sin x + cos x がプラスの時だけです。x の範囲でいえば、-π／4から＋3π/4 の範囲でしょうか。（勿論、一回り先もOK。＋2nπ）

gamma1854さんのお答え:賛成。√記号の意味は、「＋」と書いて下さった方が分かりやすいと思います。

178-tall さんとAsuncion さんのお答え：周期がπの関数は、見方によっては、周期が 2πの周期関数でもあるのです。（お互いが整数倍であれば）従って、あながち不成立とは言えません。

ということで質問の数式は、x の範囲を限れば成立します。
皆様のお答えを並べただけで、申し訳ございません。

お礼

私としては相当勉強しないとだめだなという感じです。基本的なことなのでしょうが何とかしたいと思います。